Constante de Kepler-Bouwkamp

Les premières étapes de la construction sont les suivantes : on inscrit dans un cercle unité ${\displaystyle C_{1}}$ un triangle équilatéral, à l'intérieur duquel on inscrit un cercle ${\displaystyle C_{2}}$. Dans ${\displaystyle C_{2}}$ on inscrit un carré, à l'intérieur duquel on inscrit un cercle ${\displaystyle C_{3}}$. Dans ${\displaystyle C_{3}}$ on inscrit un pentagone régulier, dans lequel on inscrit un cercle ${\displaystyle C_{4}}$, etc.

Le rayon du cercle inscrit dans ${\displaystyle C_{n}}$ rapporté à celui du cercle circonscrit est égal à ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{n}}}$.

La constante de Kepler-Bouwkamp, limite des rayons des cercles ${\displaystyle C_{n}}$ lorsque ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini est donc égale au produit infini : ${\displaystyle R=\prod _{n=3}^{\infty }\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$.

Ce produit infini est bien convergent (même absolument) car ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=1-{\frac {\pi ^{2}}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$ et la série ${\displaystyle \Sigma (1/n^{2})}$ est absolument convergente.

Les décimales de ce nombre ${\displaystyle R\approx 0{,}1149420448\dots }$forment la suite A085365 de l'OEIS.

Le modèle d’Univers de Kepler, fondé sur les cinq polyèdres réguliers.

Cette construction provient d'une idée de Kepler qui a un temps pensé qu'avec les premiers cercles l'on pouvait approcher les orbites autour du Soleil de Jupiter, Saturne (cercles ${\displaystyle C_{1}}$ et ${\displaystyle C_{2}}$) , de Mars et de la Terre (cercles ${\displaystyle C_{3}}$ et ${\displaystyle C_{4}}$). Pour rendre ce modèle plus conforme aux données astronomiques, il passera de la géométrie plane à la géométrie dans l'espace, substituant aux polygones réguliers des polyèdres réguliers inscrits dans des sphères, utilisant les cinq solides de Platon pour les six planètes connues à l'époque (solides qui approchaient le mieux la perfection divine de la sphère)[2]^,[3].

Dans un article paru en 1965 dans la revue Indagationes MathematicaeIndagationes Mathematicae, Bouwkamp donne une valeur approchée de l'inverse ${\displaystyle P=\prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos({\frac {\pi }{n}})}}}$ de la constante de Kepler-Bouwkamp. Cette valeur correspond au processus inverse de celui décrit dans cet article : on part d'un cercle unité, que l'on inscrit dans un triangle équilatéral, lui-même inscrit dans un cercle que l'on inscrit dans un carré, etc. et ${\displaystyle P}$ est la limite des rayons des cercles ainsi obtenus.

Il mentionne d'abord que les mathématiciens Edward Kasner et James Roy Newman (en) donnent une valeur approchée erronée de ${\displaystyle P}$, environ égale à 12, dans leur ouvrage Mathematics and the Imagination (en), paru en 1940.

Il donne ensuite les deux méthodes de calcul employées.

La première utilise la relation que justifie Bouwkamp :

${\displaystyle \ln({\frac {2P}{\pi }})=\sum _{k=1}^{\infty }k^{-1}\zeta (2k)2^{2k}(\lambda (2k)-1)}$

où ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$ est la fonction zêta de Riemann et ${\displaystyle \lambda (s)=\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)^{-s}=(1-2^{-s})\zeta (s)}$. À l'aide de tables de valeurs de la zêta, il obtient ${\displaystyle P\approx 8,7000366252081945}$. La deuxième méthode cherche à pallier la lenteur de convergence de la suite de terme général ${\displaystyle \prod _{n=3}^{N}{\frac {1}{\cos({\frac {\pi }{n}})}}}$. Pour cela, Bouwkamp écrit ${\displaystyle P=RQ}$ où

${\displaystyle R=\prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{g(n)}}{\text{ et }}Q=\prod _{n=3}^{\infty }{\frac {g(n)}{\cos({\frac {\pi }{n}})}}}$

en choisissant ${\displaystyle g(n)}$ de sorte que ${\displaystyle R}$ soit calculable explicitement et que le produit infini ${\displaystyle Q}$ converge rapidement. En prenant ${\displaystyle g(n)=1-{\frac {\pi ^{2}}{2n^{2}}}+{\frac {\pi ^{4}}{24n^{4}}}-{\frac {\pi ^{6}}{720n^{6}}}}$ (obtenu par développement asymptotique de ${\displaystyle \cos({\frac {\pi }{n}})}$), il obtient ${\displaystyle P\approx 8,7000366252081943}$ en utilisant un ordinateur.

Les décimales de ${\displaystyle P}$ forment la suite A051762 de l'OEIS.

• (en) Christoffel Bouwkamp, « An Infinite Product », Indagationes Mathematicae, Elsevier, vol. 68,‎ 1965 (DOI 10.1016/S1385-7258(65)50004-4).
• (en) E. Stephens, « Slowly Convergent Infinite Products », The Mathematical Gazette, Mathematical Association, vol. 79, n^o 486,‎ novembre 1995, p. 561-565 (DOI 10.2307/3618092).

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