Conjecture d'Agoh-Giuga

En théorie des nombres, la conjecture d'Agoh-Giuga sur les nombres de Bernoulli ${\displaystyle B_{k}}$ énonce qu'un entier p est un nombre premier si, et seulement si :

${\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}\,.}$

(La notation ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {p}}}$ signifie que p divise le numérateur de ${\displaystyle a-b}$ mais pas le dénominateur de ${\displaystyle a-b}$.)

La condition de la conjecture est nécessaire car on sait, d'après le théorème de von Staudt-Clausen, que ${\displaystyle pB_{2m}\equiv -1{\pmod {p}}}$ pour tout nombre premier p tel que ${\displaystyle p-1}$ divise 2m et que ${\displaystyle 2B_{1}\equiv -1{\pmod {2}}\,}$.

La conjecture ainsi énoncée est due à Takashi Agoh. Une formulation équivalente due à Giuseppe Giuga est qu'un nombre p est premier si, et seulement si :

${\displaystyle 1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}\qquad (1)}$.

Voir l'article nombres de Giuga. L'équivalence entre les deux formulations est démontrée par Agoh[1].

Dans la formulation de Giuga, une implication se déduit du petit théorème de Fermat. En effet, selon celui-ci, si p est un nombre premier, alors pour tout entier a entre 1 et p-1, la puissance p-1^e de a est congrue à 1 modulo p. La congruence (1) s'obtient en sommant ces relations. Giuga a démontré qu'un possible contre-exemple ${\displaystyle n}$ (c'est-à-dire un nombre composé vérifiant la congruence (1)) est un nombre de Carmichael[2] ; il a vérifié la conjecture pour n < 10 ¹⁰⁰⁰  ; Edmondo Bedocchi l'a vérifié pour n < 10 ¹⁷⁰⁰ , et en 1996 Borwein et d'autres sont allés jusqu'à n < 10 ¹³⁸⁰⁰ . Laerte Sorini, enfin, dans un ouvrage de 2001, a montré qu'un contre-exemple éventuel devait être un nombre n supérieur à 10 ³⁶⁰⁶⁷ qui est la limite suggérée par Bedocchi pour des raisons techniques à la démonstration indiquée par Giuga à sa propre conjecture.