Conditions de Karush-Kuhn-Tucker

${\displaystyle X^{*}}$ est un point critique de ${\displaystyle L_{\lambda }:X\longmapsto f(X)+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}g_{i}(X)}$, le lagrangien du problème. Autrement dit, ${\displaystyle \nabla L_{\lambda }(X^{*})=0}$, où ${\displaystyle \nabla }$ est le gradient, ou encore, en écrivant les dérivées partielles,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(X^{*})+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{k}}}(X^{*})=0,\ 1\leq k\leq n}$

Pour tout ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$

• ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$
• ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$ ou ${\displaystyle g_{i}(X^{*})=0}$.

On peut également écrire, de façon plus compacte, que pour tout ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \min[\lambda _{i},g_{i}(X^{*})]=0}$.

Les conditions de relâchement supplémentaires impliquent que si ${\displaystyle g_{i}(X^{*})>0}$, alors ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$. Autrement dit : si la ${\displaystyle i}$-ème contrainte n'est pas saturée, alors le multiplicateur de Lagrange associé est nul.

La démonstration de ce résultat repose essentiellement sur le lemme de Farkas.