Calotte sphérique

En géométrie, un calotte sphérique est une portion de sphère délimitée par un plan. C'est un cas particulier de zone sphérique.

Une sphère et les deux calottes sphériques découpées par un plan

Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, on optient un hémisphère.

Cette surface de révolution sert de délimitant à deux types de solides :

le secteur sphérique, portion de boule découpée par un cone
le segment sphérique à une base, portion de boule découpée par un plan.

Dimensions

Dimensions d'une calotte sphérique

Il existe plusieurs dimensions permettant de caractériser une calotte sphérique:

sa hauteur : $h$
le rayon de son cercle de base ( $c$ ): $a$
le rayon de la sphère d'origine ( $s$ ) : $r$
l'angle au centre entre le rayon passant par le pôle $P$ de la calotte et un rayon passant par le cercle de base : $θ$

La connaissance de deux de ces dimensions permet de déterminer, à une exception près, les deux autres :

$h$	$a$	$r$	$θ$
$h$	$a$	$r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}$	$\theta =2\arctan(h/a)$
$h$	$a={\sqrt {h(2r-h)}}$	$r$	$\theta ={\textrm {versin}}^{-1}(h/r)$ (*[1])
${\begin{aligned}h&=r{\textrm {versin}}\theta \\&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}$	$a=r\sin \theta$	$r$	$θ$
$h=r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	$a$	$r$	${\begin{aligned}\theta &=\arcsin(a/r)\\&ou\\&=\pi -\arcsin(a/r)\end{aligned}}$

Aire

L'aire d'un calotte sphérique s'exprime, en fonction de ses dimensions, par les formules suivantes:

[2] $S=2\pi rh$
[2] $S=\pi (a^{2}+h^{2})$
$S=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )$

On retrouve ici facilement l'aire d'un hémisphère $S=2\pi r^{2}$ et d'une sphère $S=4\pi r^{2}$ .

L'aire d'une calotte sphérique est liée à l'angle solide $\Omega$ interceptant le cercle ( $c$ ) par la formule : $S=r^{2}\Omega$

Centre de gravité

Comme dans tout surface de révolution, le centre de gravité $G$ d'une calotte sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP) Il est de plus situé au milieu de la flèche[3].

Segment sphérique à une base

C'est la portion de boule découpée par un plan. Son volume est donnée par les formules[4]:

$V=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right)$
$V={\frac {\pi }{6}}(3a^{2}+h^{2})h$

Comme dans tout solide de révolution, le centre de gravité $G$ du segment sphérique est situé sur l'axe de rotation (CP). Sa distance du pôle $P$ est donnée par:

[5] $PG={\frac {8r-3h}{12r-4h}}h$
$PG={\frac {4a^{2}+h^{2}}{6a^{2}+2h^{2}}}h$

Sa distance au centre est donc de : $CG=r-{\frac {8r-3h}{12r-4h}}h={\frac {3}{4}}{\frac {(2r-h)^{2}}{3r-h}}$

Calcul intégral

Surface

Courbe engendrant, par rotation, la calotte sphérique

En considérant que la surface s'obtient en faisant tourner autour de l'axe des abscisses la portion de cercle d'équation $y={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {x(2r-x)}}$ avec $0\leq x\leq h\,,$ on peut utiliser la formule de calcul d'une surface de révolution $S=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx\,.$ On obtient alors : ${\begin{aligned}S&=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx\\&=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}\\&=2\pi rh\end{aligned}}$

On peut aussi travailler en coordonnées sphériques (rayon, colatitude Φ, longitude φ) en intégrant l'élément de surface pour une sphère : $dS=r^{2}\sin \phi d\phi d\varphi \,.$ On obtient alors: ${\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }r^{2}\sin \phi d\phi d\varphi \\&=r^{2}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\theta }\sin \phi d\phi \\&=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )\end{aligned}}$

Volume

Si on considère que le segment sphérique est engendré par la rotation du triangle curviligne O(0;0) H(h,0) M(h, f(h)), on peut utiliser le calcul de volume d'un solide de révolution: ${\begin{aligned}V&=\pi \int _{0}^{h}f^{2}(x)\,dx\\&=\pi \int _{0}^{h}2rx-x^{2}\,dx\\&=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}\\&=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right)\end{aligned}}$

Centre de gravité

Pour trouver l'abscisse du centre de gravité de la calotte sphérique engendrée par la rotation de la portion de cercle d'équation $y={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {x(2r-x)}}$ avec $0\leq x\leq h\,,$ on peut calculer le moment $Mt$ de la calotte par rapport au plan d'équation $x = 0$ à l'aide de la formule: $Mt=2\pi \int _{0}^{h}xf(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx\,.$ On obtient alors : ${\begin{aligned}Mt&=2\pi \int _{0}^{h}x{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi \int _{0}^{h}xr\,dx\\&=2\pi r\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{h}\\&=\pi rh^{2}\end{aligned}}$ Le centre de gravité est bien à une distance du pôle $O$ égale à : $OG={\frac {Mt}{S}}={\frac {\pi rh^{2}}{2\pi rh}}={\frac {1}{2}}h$

Pour le centre de gravité du segment sphérique, on calcule le moment $Mt$ du segment par rapport au plan d'équation $x = 0$ à l'aide de la formule[6]: $Mt=\pi \int _{0}^{h}xf^{2}(x)\,dx\,.$ On obtient alors : ${\begin{aligned}Mt&=\pi \int _{0}^{h}2rx^{2}-x^{3}\,dx\\&=\pi \left[2r{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\right]_{0}^{h}\\&=\pi {\frac {h^{3}(8r-3h)}{12}}\end{aligned}}$ Le centre de gravité du segment sphérique est alors à une distance du pôle $O$ égale à : $OG={\frac {Mt}{V}}={\frac {h^{3}(8r-3h)}{12h^{2}(r-h/3)}}={\frac {8r-3h}{12r-4h}}h$

Références

versin⁻¹ est la fonction inverse de la fonction sinus verse
R. Gieck, Formulaire technique, Gieck Verlag, 1997, C30-31
Louis-Benjamin Francoeur, Traité élémentaire de mécanique, H.L. Perronneau, 1804 (lire en ligne) p. 68
R. Gieck, Formulaire technique, Gieck Verlag, 1997, C29
Francoeur 1804, p. 71.
Francoeur 1804, p. 70.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Spherical cap », sur MathWorld

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[1] versin⁻¹ est la fonction inverse de la fonction sinus verse

[Gieck1-2] R. Gieck, Formulaire technique, Gieck Verlag, 1997, C30-31

[3] Louis-Benjamin Francoeur, Traité élémentaire de mécanique, H.L. Perronneau, 1804 (lire en ligne) p. 68

[Gieck2-4] R. Gieck, Formulaire technique, Gieck Verlag, 1997, C29

[Francoeur180471-5] Francoeur 1804, p. 71.

[Francoeur180470-6] Francoeur 1804, p. 70.