Aryabhata

Aryabhata met en place un nouveau système de mesure du temps sidéral. Au lieu de prendre le système de division du temps que l'on trouve dans les Suryas-siddhantas (1 Kalpa=14 manus, 1 Manu= 71 Yugas, 1 Yuga (ou Mahayuga) = 4 320 000 années) , il établit les divisions suivantes : 1 jour de Brahma ou Kalpa = 14 Manus ou 1 008 yugas. Chaque yuga est découpé en quatre yugas plus petits d'une durée de 1 080 000 années[17]. Il définit également le Kali Yuga correspondant à 432 000 années[18]. Le commencement d'un Yuga correspond à un moment où toutes les planètes sont en conjonction avec Eta Piscium[17]. Il assure qu'au commencement du dernier Kali Yuga toutes les planètes étaient en conjontion avec Aries[18]. La date qu'il donne correspond au 17/18 février de l'année 3102 avant notre ère[19]. Il évalue la longueur d'un Mahayuga à 1 577 917 500 jours ce qui conduit à une évaluation de l'année sidérale de 365 j 6 h 12 min 30 s[18], une valeur trop grande de quelques minutes.

En cosmologie, il ne croit pas en une théorie de création et destruction du monde, pour lui le temps se déroule de manière continue sans commencement ni fin[20].

Pour Aryabhata, la Terre est une sphère qui tourne sur elle-même. Il insiste sur cette rotation diurne même s'il reconnait que la théorie d'une terre immobile et celle d'une terre tournant sur elle-même sont deux théories équivalentes pour l'observateur. Sa théorie de rotation de la terre ne sera pas reprise par ses successeurs[21] mais celle de sa sphéricité sera complètement admise[22].

Le jour est considéré d'un lever de soleil au suivant, tandis que dans son Ārya-Siddhānta, il le compte d'un minuit au suivant. Il évalue le jour sidéral à 23 h 56 min 4 s et 1 dixième (la valeur moderne est de 23 h 56 min 4 s et 91 millièmes)[23].

Dans le modèle astronomique qu'il propose, les positions moyennes des planètes parcourent des cercles géocentriques (déférents) et la position réelle des planètes se détermine à l'aide d'épicycles et de cercles excentriques parcourus à des vitesses constantes[24]. Aryabhata n'est pas le premier à expliquer le mouvement des planètes à l'aide d'épicycles : les astronomes grecs Apollonios, Hipparque et Ptolémée en avaient déjà présentés[24]. Mais le modèle d'Aryabhata se révèle très différent[25] et plus simple que celui de ce dernier. Cela laisse supposer qu'il ne fut pas influencé par le modèle de Ptolémée[26]. La question est de savoir si des modèles antérieurs à celui de Ptolémée ne seraient pas parvenus jusqu'en Inde[25].

Le mouvement d'une planète se calcule en donnant le nombre de révolutions sur le déférent et le nombre de révolutions sur l'épicycle durant la période d'un mahayuga. Ce calcul se fait à partir d'observations faites au temps d'Aryabhata[27]. Il se trouve que, dans le modèle d'Aryabhata, le nombre de révolutions sur l'épicycle par année sidérale des planètes extérieurs est de 1 et pour les planètes inférieures est de 88 pour Mercure et 225 pour Vénus[18]ce qui correspond à leur période héliocentrique. Cela fait dire à Bartel Leendert van der Waerden que le modèle d'Aryabhatta était pensé de manière héliocentrique[28]^,[29]. Ce mathématicien est le premier à soutenir cette hypothèse mais celle-ci est critiquée par de nombreux historiens[30]^,[31]^,[32].

Les astronomes étaient toujours conduits à effectuer des corrections sur les calculs des positions des planètes pour les faire correspondre au mouvement réel de celles-ci. Aryabhata en diminue le nombre[33].

Il est le premier astronome indien à donner une méthode correcte de calcul de latitude des planètes[27].

Il propose une explication scientifique et non religieuse du phénomène des éclipses du Soleil et de la Lune[1] jusque-là attribuées aux démons Râhu et Ketu[34].

Il analyse la lumière émise par la Lune et les planètes comme celle du Soleil réfléchie par ces astres.^{[réf. nécessaire]}

L'aryabatiya étant conçu comme un poème où chaque propriété est contenue dans un verset, Aryabhata a cherché un moyen de nommer les nombres de manière condensée. Il a donc mis au point un système de numération multiplico-additif à l'aide des 33 consonnes de l'alphabet sanskrit lui permettant de nommer les nombres de 1 à 25 et les dizaines de 30 à 100. À ces nombres, on peut appliquer un poids qui est une puissance paire de 10, en leur associant un jeu de 9 voyelles, l'ordre des syllabes n'ayant aucune importance. Ceci lui permet de nommer de très grands nombres. Ainsi le nombre de rotations de la Lune dans un Maha Yuga est évalué par Aryabhata à ca-ya-gi-yi-ṅu-śu-chlṛ soit à 6×10⁰+ 30×10⁰+3×10²+ 30×10²+5×10⁴+70×10⁴+(7 + 50)×10⁶=57 753 336. Ce système diffère de la notation positionnelle utilisée par le système kaṭapayādi (en)[35].

En arithmétique, il présente des algorithmes de calcul classiques (extraction de racines carrées et cubiques, règle de trois, calculs d'intérêts....). Il propose une méthode originale de résolution des équations indéterminées de degré 1 à deux inconnues ou plus dans le but de déterminer les dates de conjonction des planètes. Sa méthode se révèle plus efficace que celle des restes chinois[1]. Son traité contient également la méthode de calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique, de la somme des premiers carrés, et des premiers cube. Il présente une méthode pour déterminer, connaissant la somme des terme d'une suite arithmétique connue, le nombre de termes de cette somme[1].

En géométrie, il redonne les calculs d'aire et de volume basique (triangle, pyramide…). Aryabhata donne également une approximation précise de π. Dans l'Āryabhaṭīya, il écrit :

Ajoutez quatre à cent, multipliez ensuite le résultat par huit puis ajoutez alors soixante-deux mille. Le résultat est alors approximativement la circonférence d'un cercle d'un diamètre de vingt mille. Par cette règle, la relation de la circonférence au diamètre est donnée.

En d'autres termes, π ≈ 62832/20000 = 3,1416, précision remarquable dont c'est la première occurrence dans les mathématiques indiennes[36]. L'approximation standard jusque là était π ≈ √10[36]. Il n'en donne aucune justification[1], mais les historiens estiment vraisemblable qu'elle ait été obtenue en calculant le côté d'un polygone régulier inscrit à 384 côtés[36].

Il fournit une table de sinus, plus exactement de demi-cordes[37]^,[38], qui ne sont pas ramenées, comme nos modernes sinus, à un rayon 1. Aryabhata choisit un rayon de 3 438, ce qui est d'un intérêt comparable à celui de nos modernes radians[39], quand la circonférence du cercle est divisée en 21 600 minutes d'arc (360 degrés de 60 minutes[40]) : pour un angle suffisamment petit les mesures de la demi-corde et de l'angle sont alors presqu'identiques[39].

Ce choix d'un rayon de 3 438 est étroitement lié à l'approximation π ≈ 62832/20000 = 3,1416[36] : pour une circonférence C = 21600, R = C/2π ≈ C/6,2832 ≈ 3437.7387[40]. L'aryabatiya est le texte le plus ancien qui nous soit parvenu où il apparaît, mais il est probable qu'il ait déjà été utilisé en Inde avant Aryabhata[41]^,[42], ce qui suppose également la connaissance antérieure de l'approximation π ≈ 3,1416, ou d'une approximation d'une précision analogue[36].

Aryabhata découpe un quart de cercle en 24 parties de 3° 45' (soit 225') et prend la longueur de l'arc comme approximation de la demi-corde interceptant un angle de 225 min[43]. Pour le calcul des sinus, Aryabhata propose deux méthodes, l'une s'appuyant sur le calcul du sinus de l'arc moitié et l'utilisation du théorème de Pythagore, et l'autre utilisant le fait que les différences secondes[44] des sinus sont proportionnelles au sinus (R.C. Gupta 2008, p. 244). Il fournit pour la première fois une table des différences des sinus[45]. Concernant l'originalité de son travail et l'influence des tables de cordes d'Hipparque, le sujet est débattu[46]^,[47].