Anneau à PGCD

En algèbre commutative, un anneau à PGCD, ou plus rarement anneau de Gauss[1], est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout couple d'éléments non nuls possède un plus grand diviseur commun. Dans un anneau quelconque, l'existence d'un tel PGCD n'est pas toujours acquise. Les anneaux intègres à PGCD représentent une classe d'anneaux aux propriétés arithmétiques intéressantes à tel point qu'il est fréquent que les anneaux à PGCD ne soient étudiés que dans les anneaux intègres[1]^,[2]^,[3].

Définitions et exemples

Dans un anneau A, si a et b sont deux éléments non nuls de A, on dit que d est un PGCD (plus grand commun diviseur) de a et b si d est un diviseur de a et de b et si tout autre diviseur commun à a et b est aussi un diviseur de d.

L'existence d'un maximum pour l'ensemble des diviseurs communs à a et b, qui est acquise dans l'ensemble des entiers relatifs, n'est pas une propriété générale à tout anneau : ainsi dans l'anneau ℤ[ $i$ √5], les éléments a = 6 et b = 2 + 2 $i$ √5 ne possèdent pas de PGCD.

Démonstration

Les éléments de l'anneau ℤ[ $i$ √5] s'écrivent u + $i$ √5v avec u et v entiers relatifs. Le principe est de faire une recherche exhaustive des diviseurs communs de a et b pour démontrer qu'il n'en existe pas de maximum.

On remarque que, pour tout élément z de ℤ[ $i$ √5], le carré de son module, |z|² = u² + 5v², est un entier. Comme les propriétés de divisibilité se transmettent aux modules, il est possible d'utiliser les propriétés de divisibilité dans l'anneau ℤ :

Soit d = u + $i$ √5v un diviseur de a = 6 et de b = 2 + 2 $i$ √5 ; alors dans ℤ, |d|² = u² + 5v² divise |a|² = 36 et |b|² = 24, donc divise 12.

Il n'existe qu'un nombre fini de couples d'entiers relatifs (u, v) tels que u² + 5v² divise 12. Une étude exhaustive conduit à exhiber les 6 diviseurs communs à a et b :

\pm 1,\pm 2,\pm \left(1+\mathrm {i} {\sqrt {5}}\right)

.

Les valeurs correspondantes de |d|² étant 1, 4 et 6, cet ensemble n'a pas de maximum.

Un anneau à PGCD est un anneau où cette existence est acquise.

ℤ est un anneau à PGCD.
L'anneau K[X] des polynômes sur un corps K est un anneau à PGCD.
Plus généralement, tout anneau de polynômes en un nombre quelconque (éventuellement infini) d'indéterminées sur un anneau factoriel A (par exemple A = ℤ ou un corps) est à PGCD, puisqu'il est factoriel.

Propriétés des anneaux intègres à PGCD

Soient $a, b, c$ des éléments non nuls d'un anneau intègre quelconque. Le symbole ~ représente l'égalité à produit près par un inversible.

Si PPCM(a, b) existe alors PGCD(a, b) existe et l'on a l'égalité suivante : ${\rm {PGCD}}(a,b)\times {\rm {PPCM}}(a,b)\sim ab$ .La réciproque peut se révéler fausse ; ainsi dans l'anneau ℤ[ $i$ √5], les éléments a = 1 – $i$ √5 et b = 2 (irréductibles) admettent 1 comme PGCD mais n'ont pas de PPCM. Cependant, si tous les couples (a, b) possèdent un PGCD alors ils possèdent aussi un PPCM. Un anneau intègre à PGCD est donc aussi un anneau à PPCM (et réciproquement).
Si PGCD(ac, bc) existe alors PGCD(a, b) existe et l'on a l'égalité suivante : ${\rm {PGCD}}(ac,bc)\sim c\times {\rm {PGCD}}(a,b)$ .Cette égalité permet d'exprimer tout élément du corps des fractions d'un anneau à PGCD sous forme irréductible (unique).
À nouveau, la réciproque est fausse : ainsi dans l'anneau ℤ[ $i$ √5], les éléments a = 1 – $i$ √5 et b = 2 possèdent un PGCD mais 6 et 2(1 + $i$ √5) n'en possèdent pas.
PPCM(ac, bc) existe si et seulement si PPCM(a, b) existe[4], et l'on a donc dans ce cas : ${\rm {PPCM}}(ac,bc)\sim c\times {\rm {PPCM}}(a,b)$ .

Si A est un anneau intègre à PGCD alors A\{0}, muni des deux lois PPCM et PGCD, est un treillis distributif, c'est-à-dire que chacune des deux lois est distributive par rapport à l'autre[5].

Un anneau intègre à PGCD vérifie le lemme de Gauss et donc le lemme d'Euclide, c'est-à-dire :

Lemme de Gauss : pour tout couple (a, b) d'éléments non nuls de A, a et b sont premiers entre eux si et seulement si, pour tout élément c de A, si a divise bc alors a divise c.

Lemme d'Euclide : pour tout élément irréductible p de A et pour tout couple (a, b) d'éléments de A, si p divise ab alors p divise a ou p divise b.

Ainsi, dans un anneau intègre à PGCD, un élément est irréductible si et seulement s'il est premier.

Le lemme de Gauss permet par ailleurs de prouver[6] qu'un anneau intègre à PGCD est intégralement clos.

Tout anneau de polynômes à coefficients dans un anneau intègre à PGCD est encore à PGCD[7].

Relation avec les anneaux factoriels et les anneaux de Bézout

Tout anneau factoriel et tout anneau de Bézout est un anneau à PGCD.
Tout anneau à PGCD intègre et noethérien est factoriel. Plus précisément, un anneau intègre est factoriel si et seulement si c'est à la fois un anneau à PGCD et un anneau dans lequel toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire.
Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas factoriels (prendre un anneau de Bézout non factoriel comme l'anneau des entiers algébriques).
Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas de Bézout (par exemple un anneau factoriel noethérien non principal : ℚ[X,Y] ou ℤ[X]).
Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont ni factoriels ni de Bézout[8].

Notes et références

Mutafian (1976), p. 30.
Szpirglas (2009), p. 505, Définition 9.92.
Aviva Szpirglas précise : « Les anneaux à pgcd ne sont pas [non plus] supposés intègres. Comme nous nous intéressons à leurs propriétés arithmétiques, nous ne parlerons pas du cas non intègre. » (Szpirglas (2009), p. 511).
Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon sur les anneaux sur Wikiversité.
Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon sur les anneaux sur Wikiversité.
(en) « Every gcd domain is integrally closed », sur PlanetMath.
Ou plus généralement : toute algèbre d'un monoïde à PGCD sur un tel anneau : (en) Robert W. Gilmer, Commutative Semigroup Rings, University of Chicago Press, 1984, 380 p. (ISBN 978-0-226-29392-9, présentation en ligne), p. 176, Theorem 14.5.
Soit A un anneau intègre à PGCD mais non factoriel. Alors A[X] est à PGCD d'après Gilmer 1984, p. 176. Mais il n'est pas factoriel (sinon A serait factoriel), ni de Bézout (considérer l'idéal engendré par a et X où a est un élément de A non nul et non inversible, cet idéal qui est de type fini n'est pas principal car tout générateur diviserait à la fois a et X).

Bibliographie

Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition]
Claude Mutafian, Le défi algébrique : prémier cycle, deuxième cycle --- et au-delà classes préparatoires aux grandes écoles et écoles d'ingénieurs, t. 2, Paris, Vuibert, 1976, 717 p. (ISBN 978-2-7117-2142-9, notice BnF n^o FRBNF34558031)

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[Mutafian-1] Mutafian (1976), p. 30.

[2] Szpirglas (2009), p. 505, Définition 9.92.

[3] Aviva Szpirglas précise : « Les anneaux à pgcd ne sont pas [non plus] supposés intègres. Comme nous nous intéressons à leurs propriétés arithmétiques, nous ne parlerons pas du cas non intègre. » (Szpirglas (2009), p. 511).

[4] Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon sur les anneaux sur Wikiversité.

[5] Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon sur les anneaux sur Wikiversité.

[6] (en) « Every gcd domain is integrally closed », sur PlanetMath.

[7] Ou plus généralement : toute algèbre d'un monoïde à PGCD sur un tel anneau : (en) Robert W. Gilmer, Commutative Semigroup Rings, University of Chicago Press, 1984, 380 p. (ISBN 978-0-226-29392-9, présentation en ligne), p. 176, Theorem 14.5.

[8] Soit A un anneau intègre à PGCD mais non factoriel. Alors A[X] est à PGCD d'après Gilmer 1984, p. 176. Mais il n'est pas factoriel (sinon A serait factoriel), ni de Bézout (considérer l'idéal engendré par a et X où a est un élément de A non nul et non inversible, cet idéal qui est de type fini n'est pas principal car tout générateur diviserait à la fois a et X).