Angle de transport

Représentation schématique des composants élémentaires d'une ligne de transmission.

En notant R' la résistance linéique de la ligne, L' son inductance linéique, G' sa conductance linéique, C' sa capacitance linéique, V la tension et I le courant. En partant des équations des télégraphistes et en considérant un régime stationnaire, on obtient le système d'équations suivant dans le domaine complexe [3]:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V=-Z'\cdot {\frac {\partial I}{\partial x}}}$

ou

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V=Z'\cdot Y'\cdot V}$

La solution de cette dernière équation différentielle est la somme d'une onde se propageant dans une direction et une dans l'autre :

${\displaystyle V=A\cdot e^{-\gamma x}+B\cdot e^{\gamma x}}$

Avec :

${\displaystyle \gamma =\alpha +j\mathrm {B} ={\sqrt {Z'\cdot Y'}}}$

La dérivée de la tension est :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}V=-\gamma \cdot A\cdot e^{-\gamma x}+\gamma \cdot B\cdot e^{\gamma x}}$

L'équation liant la tension et le courant peut être reformulée en :

${\displaystyle I=-{\frac {1}{Z'}}\cdot {\frac {\partial }{\partial x}}V}$

En introduisant la solution :

${\displaystyle I={\frac {\gamma }{Z'}}\cdot A\cdot e^{-\gamma x}-{\frac {\gamma }{Z'}}\cdot B\cdot e^{\gamma x}}$

On introduit la variable ${\displaystyle \Gamma ={\frac {Z'}{\gamma }}={\frac {Z'}{\sqrt {Z'\cdot Y'}}}={\sqrt {\frac {Z'}{Y'}}}}$, l'impédance de la ligne :

${\displaystyle I={\frac {A}{\Gamma }}\cdot e^{-\gamma x}-{\frac {B}{\Gamma }}\cdot e^{\gamma x}}$

La connaissance des conditions aux limites permet de déterminer A et B. Soit une ligne de longueur l, la tension V1 et le courant I1 sont placés à la position x=0, tandis que la tension V2 et le courant I2 sont placés à x=l.

${\displaystyle V_{1}=V(x=0)=A+B}$

${\displaystyle I_{1}=I(x=0)={\frac {A}{\Gamma }}-{\frac {B}{\Gamma }}}$

${\displaystyle V_{2}=V(x=l)=A\cdot e^{-\gamma l}+B\cdot e^{\gamma l}}$

${\displaystyle I_{2}=I(x=l)={\frac {A}{\Gamma }}\cdot e^{-\gamma l}-{\frac {B}{\Gamma }}\cdot e^{\gamma l}}$

On peut en déduire A et B, puis reformuler en :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cosh(\gamma \cdot l)&\Gamma sinh(\gamma \cdot l)\\{\frac {1}{\Gamma }}sinh(\gamma \cdot l)&cosh(\gamma \cdot l)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$

On a donc entre autres :

${\displaystyle V_{1}=V_{2}cosh(\gamma \cdot l)+I_{2}\Gamma sinh(\gamma \cdot l)}$

Une ligne électrique connectée à une charge Gamma délivre sa puissance naturelle.

Dans le cas où une charge égale à ${\displaystyle \Gamma }$ est connectée à la tension V2, il y a adaptation d'impédances. Concrètement :

${\displaystyle V_{2}=\Gamma \cdot I_{2}}$

On a également :

${\displaystyle P_{2}={\frac {V_{2}^{2}}{\Gamma }}}$, la puissance naturelle

D'où

${\displaystyle V_{1}=V_{2}cosh(\gamma \cdot l)+{\frac {V_{2}}{\Gamma }}\Gamma sinh(\gamma \cdot l)=V_{2}(cosh(\gamma \cdot l)+sinh(\gamma \cdot l))=V_{2}\cdot e^{\gamma \cdot l}}$

Dans le cas d'une ligne sans pertes, on revient au cas :

${\displaystyle V_{1}=V_{2}\cdot e^{j\mathrm {B} \cdot l}}$

Il n'y a donc pas de chute de tension, seulement un déphasage égal à ${\displaystyle \mathrm {B} \cdot l}$ qui est donc l'angle de transport.

Pour une ligne aérienne, ${\displaystyle \mathrm {B} }$ vaut environ 6° / 100 km pour une longueur inférieur à 200 km. Pour un câble, ${\displaystyle \mathrm {B} }$ vaut environ 12° / 100 km pour une longueur inférieure à 100 km[4].