Algorithme Toom-Cook

Multiplier deux nombres revient à multiplier deux polynômes

${\displaystyle A(x)={\begin{pmatrix}x^{2}&x^{1}&x^{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{pmatrix}}^{T}}$

et

${\displaystyle B(x)={\begin{pmatrix}x^{2}&x^{1}&x^{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}&b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}^{T}}$

ce qui donne un troisième polynôme

${\displaystyle P(x)=A(x)B(x)={\begin{pmatrix}x^{4}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\end{pmatrix}}^{T}}$

En évaluant ${\displaystyle P}$ en cinq points distincts

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P(\infty )\\P(2)\\P(-1)\\P(1)\\P(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\16&8&4&2&1\\1&-1&1&-1&1\\1&1&1&1&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{4}\\p_{3}\\p_{2}\\p_{1}\\p_{0}\end{pmatrix}}}$

on détermine ses coefficients via une interpolation

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{4}\\p_{3}\\p_{2}\\p_{1}\\p_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\16&8&4&2&1\\1&-1&1&-1&1\\1&1&1&1&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}P(\infty )\\P(2)\\P(-1)\\P(1)\\P(0)\end{pmatrix}}}$

Ce calcul nécessite cinq multiplications trois fois plus simples et quelques additions

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}p_{4}\\p_{3}\\p_{2}\\p_{1}\\p_{0}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\16&8&4&2&1\\1&-1&1&-1&1\\1&1&1&1&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}A(\infty )B(\infty )\\A(2)B(2)\\A(-1)B(-1)\\A(1)B(1)\\A(0)B(0)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\16&8&4&2&1\\1&-1&1&-1&1\\1&1&1&1&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}a_{2}b_{2}\\(4a_{2}+2a_{1}+a_{0})(4b_{2}+2b_{1}+b_{0})\\(a_{2}-a_{1}+a_{0})(b_{2}-b_{1}+b_{0})\\(a_{2}+a_{1}+a_{0})(b_{2}+b_{1}+b_{0})\\a_{0}b_{0}\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

La complexité est donc

${\displaystyle O(n^{\log _{3}(5)})\simeq O(n^{1{,}465})}$.

• (ru) Andrei Toom, « О сложности схемы из функциональных элементов, реализующей умножение целых чисел »^{(Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)}, Доклады Академии Наук СССР, T. 150, n^o 3, 1963, p. 496-498, (en) « The Complexity of a Scheme of Functional Elements Realizing the Multiplication of Integers »^{(Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)}, p. 714-716
• (en) Donald Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2, 3^e éd. , Addison-Wesley, 1997
• (en) Richard Crandall, Carl Pomerance, Prime Numbers - A Computational Perspective, 2^e éd. , Springer, 2005
• (en) Toom 3-Way Multiplication, documentation de GMP

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