Abu l-Wafa

Abu l-Wafa s'intéresse aux mouvements de la lune. Il observe en particulier, à Bagdad, l'éclipse de lune du 24 mai 997 concomitamment avec al-Biruni situé à Kath, permettant ainsi de préciser la différence de longitude entre les deux villes. Il corrige les tables lunaires de son époque mettant en évidence ce que Tycho Brahe appellera la troisième variation.

Dans son livre La révision de l'Almageste[2] (par référence à l'Almageste de Ptolémée), il complète les tables trigonométriques de ses prédécesseurs notamment sur la tangente, en utilisant des méthodes géométriques comparables à nos formules de trigonométrie (voir par exemple la démonstration ci-dessous pour la détermination du sinus de la différence de deux arcs)[3].

Démonstration

Figure utilisée par Abul l-Wafa pour déterminer le sinus de la différence de deux angles

Considérons la figure ci-contre. Soit un cercle de rayon [OB] (qu'on peut supposer de longueur 1), et deux arcs BA et BC dont on connaît les sinus BT et BH. Il s'agit de déterminer le sinus de l'arc AC, différence des arcs BA et BC.

Soit D tel que l'arc BD soit le double de l'arc BC, et Z tel que l'arc BZ soit le double de l'arc BA. On a donc l'arc DZ qui est le double de l'arc AC et le sinus de AC est la moitié de la longueur de la corde [DZ]. Comme T et H sont les milieux de [BZ] et [BD], le théorème de Thalès permet de conclure que le sinus cherché est la longueur TH.

Les triangles TOB et HOB étant rectangles en T et H, ils sont inscrits dans le même cercle de diamètre [OB] (non représenté). Les angles inscrits HOB et HTB portés par le segment [HB] sont donc égaux. Il en est de même des angles TOH et TBH, portés par [TH].

Si on pose N le projeté orthogonal de B sur (TH), il en résulte que les triangles BNT et BHO sont semblables, ayant leurs angles égaux. On a donc :

${\displaystyle {\frac {BT}{TN}}={\frac {BO}{HO}}}$

De plus, les angles NBT et HBO de ces deux triangles sont égaux. Si l'on retranche l'angle HBT, on a donc les angles NBH et TBO égaux. les deux triangles rectangles NBH et TBO ont donc leurs angles égaux, donc sont isométriques. On a donc :

${\displaystyle {\frac {BH}{HN}}={\frac {BO}{TO}}}$

On peut en déduire TN et HN, puis TH = TN - HN. On reconnaît alors la formule donnant le sinus de la différence de deux arcs. En effet :

${\displaystyle \sin(BA-BC)=\sin(AC)=TH=TN-HN={\frac {BT\times HO}{BO}}-{\frac {BH\times TO}{BO}}=\sin(AB)\cos(BC)-\sin(BC)\cos(AB)}$

On lui doit la notion de cercle trigonométrique, celles de sécante et cosécante. On lui attribue aussi la formule des sinus en trigonométrie sphérique :

${\displaystyle {\frac {\sin(A)}{\sin(a)}}={\frac {\sin(B)}{\sin(b)}}={\frac {\sin(C)}{\sin(c)}}}$

Abu l-Wafa commente les œuvres d'Euclide, Diophante et al-Khwarizmi (ces commentaires ont disparu). Dans son livre Sur l'indispensable aux artisans en fait de construction, il développe des constructions approchées à la règle et au compas de polygones réguliers à cinq, sept ou neuf côtés. Il s'intéresse en particulier aux constructions réalisables avec un compas d'écartement constant. Il propose une construction de la parabole. Il propose des constructions mécaniques de trisections d'angles et de duplication du cube. Il s'intéresse au problème de la division d'un carré en somme de plusieurs carrés et propose une première solution à la trisection du carré[4]. Également démonstration du théorème de Pythagore[5], il utilisera cette preuve par dissection pour expliquer le théorème de Pythagore aux artisans[6].

Triangle équilatéral AEF inscrit dans le carré ABCD

Il est connu pour une solution du problème géométrique suivant. Soit ABCD un carré de centre O. Le problème est : construire un point E sur le segment BC et son symétrique F par rapport à la droite (AC) de telle façon que le triangle AEF soit équilatéral.

La solution proposée par Abu l-Wafa est la suivante :

1. Construire le cercle circonscrit à ABCD.
2. Construire un second cercle, de centre C et passant par O.
3. Noter U et V les deux points auxquels ces cercles se coupent.
4. On peut alors prouver que les droites (AU) et (AV) coupent le carré en deux points qui sont les points E et F recherchés.

Le livre d'Abu l-Wafa contient une centaine de constructions géométriques qui ont été comparées à celles de traités mathématiques de la Renaissance. La descendance de ce traité dans l'Europe latine est toujours débattue[7].

Dans son livre Ce qui est nécessaire en arithmétique pour les comptables et les hommes d'affaires, il développe des mathématiques en même temps théoriques (fraction, multiplication, division, mesures) et pratiques (calculs de taxes, unités de monnaies, paiement de traitements). Bien que connaissant la numération indienne, il ne l'utilise pas dans cet ouvrage adressé au grand public. Il développe cependant une théorie sur les nombres négatifs les associant à l'image d'une dette : 3 - 5 représentant par exemple une dette de 2. Il accepte de multiplier ces nombres négatifs par des positifs et de les incorporer dans des calculs.

Abu l-Wafa s'intéresse aussi à l'optique et publie un livre sur les miroirs ardents, miroirs dont tous les rayons réfléchis convergent en un même point, permettant ainsi d'obtenir en ce point une chaleur suffisante pour enflammer un objet.

• Hebri Bousserouel, Les savants musulmans oubliés de l'histoire.
• Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe [détail de l’édition].
• Joseph Bertrand, « La théorie de la lune d’Aboul Wefa », Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences, Paris, n^o 73,‎ 1872, p. 581-588
• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Abu l-Wafa », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
• Biographie sur le site d'Imago Mundi
• Tangram d'Abu'l Wafa en géométrie dynamique, dissection d'un triangle en un rectangle de même aire.

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