Abélien

L'adjectif abélien, dérivé du nom du mathématicien norvégien Niels Abel, est employé dans de nombreux domaines des mathématiques.

En théorie des groupes,

• un groupe abélien est un groupe dont la loi est commutative ;
• un groupe métabélien (en) est un groupe dont le groupe des commutateurs est abélien ;
• l'abélianisé d'un groupe est son plus grand quotient abélien.

En analyse,

• en analyse réelle, les théorèmes abéliens sont des résultats de sommations de séries divergentes généralisant un théorème d'Abel ;
• en analyse fonctionnelle, une algèbre de von Neumann abélienne (en) est une algèbre de von Neumann d'opérateurs sur un espace de Hilbert dont les éléments commutent.

En théorie des nombres,

• une extension abélienne est une extension de corps dont le groupe de Galois associé est abélien ;
• une variété abélienne est le plongement d'un tore dans un espace projectif, et les fonctions méromorphes sur une telle variété portant le nom de fonctions abéliennes ;
• une intégrale abélienne est une fonction reliée à une forme différentielle sur une surface de Riemann.

En théorie des catégories,

• une catégorie préabélienne est une catégorie additive, avec existence de noyaux et conoyaux ;
• une catégorie abélienne est une catégorie additive avec existence des noyaux et conoyaux, dans laquelle objets et morphismes peuvent s'additionner.

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