Opération sur les vecteurs

On peut calculer la norme d'un vecteur grâce à la commande "norm()":

octave> x = [2 3 1 1 1];
octave> n = norm(x)
n = 4

La commande "dot(x,y)" calcul le produit scalaire de deux vecteurs:

octave> y = [-1 1 2]
y =

 -1   1   2

octave> x = [1 1 1]
x =

 1  1  1

octave>z = dot(x,y)
z = 2

La commande "cross(x,y)'" calcul le produit vectoriel de vecteur en trois dimensions:

octave> z = cross(x,y)
z =

  1  -3   2

Opérations sur les matrices

Nous avons déjà vu que nous pouvions multiplier des matrices et calculer leurs transposées. Mais Octave permet aussi de les élever à une puissance :

octave> A = [-1 2;2 0]
A =

 -1   2
  2   0

octave>B = A^4
B =

  29  -18
 -18   20

La commande "rank()" calcul le rang d'une matrice:

octave> r = rank(A)
r = 2

La commande "trace" permet d'obtenir la trace d'une matrice:

octave> t = trace(A)
t = -1

On peut aussi, grâce à la commande "expm()", calculer l'exponentielle de la matrice:

octave> E = expm(A)
E =

 0.36788  7.38906
 7.38906  1.00000

Matrices particulières

Octave fournit plusieurs fonctions pour créer des matrices particulières.

octave> null = zeros(5, 3)
null =

 0  0  0
 0  0  0
 0  0  0
 0  0  0
 0  0  0

octave:13> I = eye(3)
I =

 1  0  0
 0  1  0
 0  0  1

octave>A = diag([1 2 3],0)
A =

 1  0  0
 0  2  0
 0  0  3

octave>A = diag([1 2 3],2)
A =

 0  0  1  0  0
 0  0  0  2  0
 0  0  0  0  3
 0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0

octave>A= diag([1 2 3],-1)
A =

 0  0  0  0
 1  0  0  0
 0  2  0  0
 0  0  3  0

octave> rand(2,3)
ans =

 0.871644  0.651894  0.563654
 0.076660  0.790505  0.275381

octave> hilb(3)
ans =

  1.00000   0.50000   0.33333
  0.50000   0.33333   0.25000
  0.33333   0.25000   0.20000

Calcul du déterminant

Pour calculer un determinant il suffit d'utiliser la commande "det()":

octave> A = [1 -1 3; 4 -3 1; 2 -3 1]
A =

  1  -1   3
  4  -3   1
  2  -3   1

octave> d = det(A)
d = -16

Valeurs propres et vecteurs propres

Avant d'aborder le calcul de valeurs propres et vecteurs propres, il faut savoir qu'on peut manipuler les vecteurs et les matrices composante par composante :

octave> A = [2 -1; -1 1]
A =

   2  -1
  -1   1

octave> a11 = A(1,1)
a11 = 2

On peut même utiliser le vecteur d'une matrice grâce au caractère ":" :

octave:18> a2 = A(:,2)
a2 =

 -1
  1

Donc la commande "eig" permet de calculer les vecteurs et valeurs propres d'une matrice :

octave> [vecteursp , valeursp] = eig(A)
vecteursp =

 -0.52573  -0.85065
 -0.85065   0.52573

valeursp =

 0.38197  0.00000
 0.00000  2.61803

Les coefficients diagonaux de la matrice valeursp sont les valeurs propres. On peut vérifier que le calcul est juste :

octave> x=A*vecteursp(:,1)
x =

 -0.20081
 -0.32492

octave> y = valeursp(1,1)*vecteursp(:,1)
y =

 -0.20081
 -0.32492

Décomposition de matrice

Nous avons déjà vu la décomposition de Cholesky et LU d'une matrice dans le chapitre précédent, mais Octave permet d'effectuer d'autres décomposition. Par exemple on peut utiliser la décomposition QR :

octave> A = [1 -1 2; 3 -2 1; -3 2 1]
A =

 1  -1  2
 3  -2  1
 -3  2  1

octave> [q r] = qr(A)
q =

 -2.2942e-01   9.7333e-01   7.6411e-17
 -6.8825e-01  -1.6222e-01   7.0711e-01
  6.8825e-01   1.6222e-01   7.0711e-01

r =

 -4.35890   2.98240  -0.45883
  0.00000  -0.32444   1.94666
  0.00000   0.00000   1.41421

Ensuite on vérifie que ${\displaystyle A=QR\,}$:

octave:8>B = q*r
B =

  1.00000  -1.00000   2.00000
  3.00000  -2.00000   1.00000
 -3.00000   2.00000   1.00000

On peut de même effectuer plusieurs autres décompositions grâve aux fonctions :

• qz (decomposition QZ),
• qzhess (decomposition de Hessenberg),
• schur (decomposition de Schur),
• svd (décomposition de la valeur singulière),
• housh
• krylov