On rappelle les données géométriques :

Calcul de a

Comme pour la profondeur de foyer, on établit des proportions dans des triangles semblables :

${\displaystyle {\frac {\epsilon \,p'}{d}}={\frac {a'-p'}{a'}}=1-{\frac {p'}{a'}}}$

Les formules habituelles des lentilles simples permettent d'écrire :

${\displaystyle p'={\frac {pf}{p-f}}\qquad a'={\frac {af}{a-f}}\qquad r'={\frac {rf}{r-f}}}$

${\displaystyle {\frac {\epsilon \,p'}{d}}={\frac {\epsilon \,p\,f}{d(p-f)}}=1-{\frac {pf}{p-f}}\cdot {\frac {a-f}{af}}={\frac {a(p-f)-p(a-f)}{a(p-f)}}={\frac {f(p-a)}{a(p-f)}}}$

donc :

${\displaystyle {\frac {\epsilon \,p\,f}{d(p-f)}}={\frac {f(p-a)}{a(p-f)}}}$

${\displaystyle {\frac {f}{d}}}$ n'est autre que l'ouverture relative du diaphragme ${\displaystyle n\,}$. On remplace et on simplifie :

${\displaystyle \epsilon \,p\,n={\frac {f(p-a)}{a}}}$

${\displaystyle \epsilon \,p\,n\,a=f(p-a)\qquad \to \qquad a(\epsilon pn+f)=pf\qquad \to \qquad a={\frac {p\,f}{\epsilon \,p\,n+f}}}$

CQFD. Le calcul de ${\displaystyle r\,}$ se conduit exactement de la même manière.

Calcul de p

${\displaystyle \epsilon \,p\,n={\frac {f(p-a)}{a}}\qquad \to \qquad {\frac {\epsilon \,n}{f}}={\frac {p-a}{a\,p}}={\frac {1}{a}}-{\frac {1}{p}}}$

On fait de même pour ${\displaystyle r\,}$.

${\displaystyle {\frac {\epsilon \,n}{f}}={\frac {1}{a}}-{\frac {1}{p}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r}}\qquad \to \qquad {\frac {2}{p}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{r}}\qquad \to \qquad p={\frac {2\,a\,r}{a+r}}}$

Calcul de n

On part de ${\displaystyle a\,}$ et on remplace ${\displaystyle p\,}$ par la valeur qui vient d'être calculée :

${\displaystyle a={\frac {p\,f}{\epsilon \,p\,n+f}}={\frac {{\frac {2\,a\,r}{r+a}}f}{\epsilon \,{\frac {2\,a\,r}{r+a}}n+f}}={\frac {2\,a\,r\,f}{2\,a\,r\,\epsilon \,n+f(r+a)}}}$

Ce qui donne :

${\displaystyle 2\,a\,r\epsilon n+f(r+a)=2rf\qquad \to \qquad n={\frac {2\,\,fr-f(r+a)}{2ar\epsilon }}\qquad \to \qquad n={\frac {f(r-a)}{2\,a\,r\,\epsilon }}}$