Constat 1 :

Soit p, p' les nombres premiers (le plus grand nombre premier proche de ${\displaystyle 3^{p_{i}}}$ , resp le plus petit nombre premier proche de ${\displaystyle 3^{p_{i}}}$ ; et r,r' les distances entre ${\displaystyle 3^{p_{i}}}$ et p (resp p')

d'après le tableau on en déduit que :

                                         p - r ${\displaystyle <3^{p_{i}}<}$  p' + r’

Non seulement ça , mais on remarque aussi que ${\displaystyle r<3*{p_{i}}}$ où ${\displaystyle r'<3*{p_{i}}}$ ; sauf le cas de ${\displaystyle 3^{67}}$ lequel r' est ${\displaystyle <4*{67}}$ et r ${\displaystyle <5*{67}}$

On va laisser r de coté maintenant , on va maintenant nous intéresser au coté droit de ${\displaystyle 3*{p_{i}}}$ , et passons aux choses sérieuses.

pour tout les ${\displaystyle {p_{i}}}$ compris entre 2 et 257 - Sauf 67 - on a " L'existence d'au moins " un nombre premier P dans l'intervalle ${\displaystyle [|3^{p_{i}}-3*{p_{i}}}$; ${\displaystyle 3^{p_{i}}+3*{p_{i}}|]}$ ainsi :

                                    |<math>P - 3^{p_i}</math>| < ${\displaystyle 3*{p_{i}}}$

Résultat 1 :

Quelque soit ${\displaystyle {p_{i}}}$ nombre premier , il existe au moins un nombre premier compris entre ${\displaystyle [|3^{p_{i}}-k*{p_{i}}}$; ${\displaystyle 3^{p_{i}}+k*{p_{i}}|]}$ tel que k est un nombre entier naturel non nul , et ce k augmente de 1 a chaque fois qu'on trouve un nombre premier ${\displaystyle {p_{i}}}$ tel que : |${\displaystyle P-3^{p_{i}}}$| < ${\displaystyle k*{p_{i}}}$

Rappel :

Théorème

Le petit théorème de Fermat : « si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a ^p–1 – 1 est un multiple de p. ». Autrement dit, sous les mêmes conditions sur a et p :

${\displaystyle a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}.}$

Autrement dit :

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}.}$

La relation :

Soit P le nombre premier cité en haut tel que : ${\displaystyle P=3^{p_{i}}+r'}$ ; Soit 3 le nombre "a" sachant que quelques soit ${\displaystyle {p_{i}}}$, 3 est premier avec ${\displaystyle {p_{i}}}$ sauf ${\displaystyle {p_{i}}}$ = 3 :

• Si ${\displaystyle {p_{i}}\neq 3}$ :

Alors on applique le théorème de Fermat on trouve que :

${\displaystyle 3^{p_{i}}\equiv 3{\pmod {p_{i}}}.}$

<=>

${\displaystyle P\equiv 3+r'{\pmod {p_{i}}}.}$

Ici on peut rien conclure , on aura 2 cas :

Si ${\displaystyle 3+r'<{p_{i}}}$ :

Alors la division euclidienne s'écrit sous forme :

${\displaystyle \exists q\in \mathbb {N^{*}} :P={p_{i}}*q+(3+r')}$

avec ${\displaystyle 0\leqslant 3+r'<{p_{i}}}$

Si ${\displaystyle 3+r'>{p_{i}}}$ :

Alors

${\displaystyle \exists q'\in \mathbb {N^{*}} :3+r'={p_{i}}*q'+r''}$

avec ${\displaystyle 0\leqslant r''<{p_{i}}}$, donc on peut en conclure que :

${\displaystyle \exists q''=(q+q')\in \mathbb {N^{*}} :P={p_{i}}*q''+r''}$

avec ${\displaystyle 0\leqslant r''<{p_{i}}}$

• Si ${\displaystyle {p_{i}}=3}$ :

On a ${\displaystyle 3^{3}=27\equiv 0{\pmod {3}}}$ ; r' = 2 < 3

donc il existe un unique q tel que 29 = 3*q + 3 + 2 => 24 = 3*q = > q = 8 juste

Résultat :

Ainsi on a montré que :

Quelque soit ${\displaystyle {p_{i}}}$ nombre premier , il existe un unique nombre premier qui est le plus proche et plus grand que ${\displaystyle 3^{p_{i}}}$ d'une distance unique R tel que ${\displaystyle P=3^{p_{i}}+R}$ Alors on a :

1) Si R > ${\displaystyle {p_{i}}}$ alors : ${\displaystyle \exists !q''=(q+q')\in \mathbb {N^{*}} :P={p_{i}}*q''+R'}$ tel que ${\displaystyle 0\leqslant R'<{p_{i}}}$ et ${\displaystyle R+3={pi}*q+R'}$ .

ainsi:

${\displaystyle P\equiv R'{\pmod {p_{i}}}}$

2) Si R < ${\displaystyle {p_{i}}}$ alors :${\displaystyle \exists !q\in \mathbb {N^{*}} :P={p_{i}}*q+(3+R)}$ tel que ${\displaystyle 0\leqslant R+3<{p_{i}}}$.

ainsi:

${\displaystyle P\equiv R+3{\pmod {p_{i}}}}$