Le dénominateur du second membre ne doit pas être nul. Le domaine de définition de l'équation est donc :

${\displaystyle D=\mathbb {C} ^{*}}$.

Dans l'équation, en effectuant le produit en croix, on obtient :

${\displaystyle 4x(4x^{2}+3x-2)=5(2-x^{4})}$,

ce qui, après développement et transfert dans le premier membre donne :

${\displaystyle 5x^{4}+16x^{3}+12x^{2}-8x-10=0}$.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

avec :

${\displaystyle a=5,\qquad b=16,\qquad c=12,\qquad d=-8,\qquad e=-10}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=3(3b^{2}-8ac)X^{2}+6(bc-6ad)X+(4c^{2}-9bd)\\&=864X^{2}+2592X+1728\\&=864(X^{2}+3X+2).\end{aligned}}}$

Nous constatons alors que :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=3\left(Ae+B\left({\frac {-d}{4}}\right)+C{\frac {c}{6}}\right)\\&=3\times 864\left(e-3d/4+c/3\right)\\&=3\times 864\left(-10+6+4\right)\\&=0.\end{aligned}}}$

Nous pouvons donc résoudre l'équation par la méthode de Sotta.

Les racines de R sont

${\displaystyle \alpha =-1\quad {\text{et}}\quad \beta =-2}$.

Nous avons ensuite :

${\displaystyle {\frac {b+4a\alpha }{b+4a\beta }}={\frac {16-4\times 5}{16-2\times 4\times 5}}={\frac {-4}{-24}}={\frac {1}{6}}}$.

Les racines de l'équation à résoudre sont donc les quatre nombres complexes (non nuls) :

${\displaystyle x_{\omega }={\frac {\alpha -\omega \beta /{\sqrt[{4}]{6}}}{1-\omega /{\sqrt[{4}]{6}}}}={\frac {-{\sqrt[{4}]{6}}+2\omega }{{\sqrt[{4}]{6}}-\omega }},\quad \omega \in \{1,\mathrm {i} ,-1,-\mathrm {i} \}}$.

La méthode de Sotta, lorsqu'elle est applicable à une équation du quatrième degré, fournit toujours, d'après le cours :

• soit quatre racines distinctes,
• soit une racine quadruple,
• soit une racine triple et une simple.

Par conséquent, la méthode de Sotta ne peut résoudre aucune équation du quatrième degré ayant une racine double et deux racines simples, ni aucune équation du quatrième degré ayant deux racines doubles.

Supposons maintenant que l'équation du quatrième degré à résoudre a un discriminant nul et vérifie de plus :

${\displaystyle c^{2}-3bd+12ae=0}$.

En utilisant la relation :

${\displaystyle \Delta ={\frac {4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}-\Psi ^{2}}{27}}}$,

nous en déduisons que le sottien Ψ est nul et que, par conséquent, l'équation peut être résolue par la méthode de Sotta. Comme nous venons de voir que la méthode de Sotta ne peut pas résoudre une équation ayant une ou deux racines doubles, nous en déduisons que l'équation à résoudre a une racine triple ou quadruple.

Première méthode.

L'équation :

${\displaystyle x^{4}+10x^{3}+6x^{2}+10x+1=0}$

est symétrique.

En divisant tous les termes par x², elle devient :

${\displaystyle x^{2}+10x+6+{\frac {10}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}=0}$,

que l’on peut écrire :

${\displaystyle \left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+10\left(x+{\frac {1}{x}}\right)+6=0}$.

Posons alors :

${\displaystyle z=x+{\frac {1}{x}}}$

On a alors :

${\displaystyle x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=x^{2}+2x{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}-2=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}-2=z^{2}-2}$.

L'équation devient alors :

${\displaystyle \left(z^{2}-2\right)+10z+6=0}$,

c'est-à-dire :

${\displaystyle z^{2}+10z+4=0}$.

Les deux racines de cette équation sont :

${\displaystyle z_{\pm }=-5\pm {\sqrt {21}}}$.

Reportons ces deux valeurs dans :

${\displaystyle z=x+{\frac {1}{x}}}$

On obtient les deux équations :

${\displaystyle -5+{\sqrt {21}}=x+{\frac {1}{x}}}$ ;

${\displaystyle -5-{\sqrt {21}}=x+{\frac {1}{x}}}$.

En multipliant tous les termes par x et en les mettant dans le premier membre, on obtient :

${\displaystyle x^{2}+(5-{\sqrt {21}})x+1=0}$ ;

${\displaystyle x^{2}+(5+{\sqrt {21}})x+1=0}$.

Ces deux équations du second degré nous fournissent les quatre racines suivantes :

${\displaystyle t_{0}={\frac {{\sqrt {21}}-5+\mathrm {i} {\sqrt {2(5{\sqrt {21}}-21)}}}{2}}}$ ;

${\displaystyle t_{1}={\overline {t_{0}}}}$ ;

${\displaystyle t_{2}=-{\frac {{\sqrt {21}}+5-{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}}{2}}}$ ;

${\displaystyle t_{3}=-{\frac {{\sqrt {21}}+5+{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}}{2}}}$.

Deuxième méthode.

L'équation :

${\displaystyle x^{4}+10x^{3}+6x^{2}+10x+1=0}$

est de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

avec :

${\displaystyle a=1,\qquad b=10,\qquad c=6,\qquad d=10,\qquad e=1}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=3(3b^{2}-8ac)X^{2}+6(bc-6ad)X+(4c^{2}-9bd)\\&=756X^{2}-756\\&=756(X^{2}-1).\end{aligned}}}$

Nous constatons alors que :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=3\left(Ae+B\left({\frac {-d}{4}}\right)+C{\frac {c}{6}}\right)\\&=756\times 3\left(e-c/6\right)\\&=0.\end{aligned}}}$

Nous pouvons donc résoudre l'équation par la méthode de Sotta.

Les racines de R sont

${\displaystyle \alpha =1\quad {\text{et}}\quad \beta =-1}$.

Nous avons ensuite :

${\displaystyle {\frac {b+4a\alpha }{b+4a\beta }}={\frac {10+4}{10-4}}={\frac {7}{3}}}$.

Les racines de l'équation à résoudre sont alors données par :

${\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha -\beta \mathrm {i} ^{k}{\sqrt[{4}]{7/3}}}{1-\mathrm {i} ^{k}{\sqrt[{4}]{7/3}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}+\mathrm {i} ^{k}{\sqrt[{4}]{7}}}{{\sqrt[{4}]{3}}-\mathrm {i} ^{k}{\sqrt[{4}]{7}}}},\quad k\in \{0,1,2,3\}}$.

On trouve donc finalement :

${\displaystyle x_{0}=-{\frac {{\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}}{{\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}}}}$ ;

${\displaystyle x_{1}={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}+\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}}{{\sqrt[{4}]{3}}-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}}}}$ (de partie imaginaire ${\displaystyle {\frac {2{\sqrt[{4}]{21}}}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}}>0}$) ;

${\displaystyle x_{2}=-{\frac {{\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}}{{\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}}}}$ (de valeur absolue inférieure à celle de ${\displaystyle x_{0}}$) ;

${\displaystyle x_{3}={\overline {x_{1}}}}$.

Conclusion

L'ensemble des solutions de l'équation :

${\displaystyle x^{4}+10x^{3}+6x^{2}+10x+1=0}$

est

${\displaystyle \{t_{0},t_{1},t_{2},t_{3}\}=\{x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\}}$.

Plus précisément, d'après les remarques faites sur les ${\displaystyle x_{k}}$, on a les égalités

${\displaystyle -{\frac {{\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}}{{\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}}}=x_{0}=t_{3}=-{\frac {{\sqrt {21}}+5+{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}}{2}}}$ ;

${\displaystyle -{\frac {{\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}}{{\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}}}=x_{2}=t_{2}=-{\frac {{\sqrt {21}}+5-{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}}{2}}}$ ;

${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{4}]{3}}+\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}}{{\sqrt[{4}]{3}}-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}}}=x_{1}=t_{0}={\frac {{\sqrt {21}}-5+\mathrm {i} {\sqrt {2(5{\sqrt {21}}-21)}}}{2}}}$,

qui prouvent respectivement celles annoncées.

Cette équation est de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

avec :

${\displaystyle a=1,\qquad b=-(1+2{\sqrt {2}}),\qquad c=3{\sqrt {2}},\qquad d=-2(3-2{\sqrt {2}}),\qquad e=-2(2-{\sqrt {2}})}$.

La résolvante de Sotta est :

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X)&=3(3b^{2}-8ac)X^{2}+6(bc-6ad)X+(4c^{2}-9bd)\\&=9\left((9-4{\sqrt {2}})X^{2}+2(8-9{\sqrt {2}})X+2(9-4{\sqrt {2}})\right)\\&=9(9-4{\sqrt {2}})\left(X^{2}-2{\sqrt {2}}X+2\right)\end{aligned}}}$

Nous constatons alors que :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=3\left(Ae+B\left({\frac {-d}{4}}\right)+C{\frac {c}{6}}\right)\\&=27(9-4{\sqrt {2}})\left(-2(2-{\sqrt {2}})-{\sqrt {2}}(3-2{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}\right)\\&=0.\end{aligned}}}$

Nous pouvons donc résoudre l'équation par la méthode de Sotta.

La résolvante a une racine double, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, qui sera, d’après le cours, racine triple de l'équation à résoudre.

Pour trouver la racine simple manquante, il suffit d'écrire, par exemple, que la somme des racines est égale à l'opposé du coefficient de x³. On trouve finalement que les quatre racines de l'équation :

${\displaystyle x^{4}-(1+2{\sqrt {2}})x^{3}+3x^{2}{\sqrt {2}}-2(3-2{\sqrt {2}})x-2(2-{\sqrt {2}})=0}$

sont :

${\displaystyle x_{0}=x_{1}=x_{2}={\sqrt {2}},\quad x_{3}=1-{\sqrt {2}}}$.