Variété de Whitehead

En mathématiques, la variété de Whitehead est une 3-variété ouverte contractile, mais non homéomorphe à . J. H. C. Whitehead (1935) a découvert cet objet déroutant alors qu'il tentait de prouver la conjecture de Poincaré, corrigeant une erreur dans un de ses précédents articles (Whitehead (1934)) dans lequel il affirmait à tort qu'il n'en existait pas.

Trois premiers tores de la construction de la variété de Whitehead

Une variété contractile est une variété qui peut être réduite en un point situé à l'intérieur de la variété elle-même. Par exemple, une boule ouverte est une variété contractible. Toutes les variétés homéomorphes de la balle sont également contractiles. On peut se demander si toutes les variétés contractiles sont homéomorphes à une balle. Pour les dimensions 1 et 2, la réponse est classique et c'est "oui". En dimension 2, il découle, par exemple, du théorème de mappage de Riemann. La dimension 3 présente le premier contre-exemple : la variété Whitehead[1].

Construction

Prenez une copie de . Prenez un tore solide (plein) compact sans nœud dans la sphère. Le complément fermé de est un autre tore.

Un lien épaissi de Whitehead. Dans la construction de la variété Whitehead, le tore bleu (non torsadé) est un voisinage tubulaire de la courbe méridienne de et le tore orange est . Tout doit être contenu dans .

Prenez maintenant un second tore solide dans tel que et un voisinage tubulaire de la courbe méridienne de est un lien Whitehead épaissi.


Maintenant, construisez dans de la même manière que a été construit dans , et ainsi de suite indéfiniment. définissez W, le continuum de Whitehead , comme étant , ou plus précisément l'intersection de tous les pour .

La variété de Withehead est définie comme , ce qui est une variété non compacte dans frontières.

Remarque : analyse impliquant les résultats de Morton Brown montre que . Cependant, X n'est pas homéomorphique à . Cela vient du fait qu'elle ne soit pas simplement liée à l'infini.

La compactification en un point de X est l'espace (avec W contracté en un point). Ce n'est pas une variété. Cependant, est homéomorphe à .

David Gabai a montré que X est l’union de deux copies de dont l'intersection est aussi homéomorphe [1] .

Espaces connexes

D'autres exemples de 3-variétés ouvertes et contractiles peuvent être construites en procédant de manière similaire et en choisissant différentes inclusions de dans durant le processus itératif. Chaque inclusion doit être un tore solide sans nœud dans la 3-sphère. La propriété essentielle est que la méridienne de doit être nulle-homotopique dans le complément de , et en supplément, la longitude de ne doit pa être nulle-homotopique dans . Une autre variation est de choisir plusieurs sous-tores ià chaque étape au lieu d'en choisir un seul.

Références

  1. Gabai, « The Whitehead manifold is a union of two Euclidean spaces », Journal of Topology, vol. 4, no 3, , p. 529–534 (DOI 10.1112/jtopol/jtr010)

Lectures complémentaires

  • Kirby, Robion, The topology of 4-manifolds, Lecture Notes in Mathematics, no. 1374, Springer-Verlag, (ISBN 978-0-387-51148-1)
  • Rolfsen, Dale (2003), "Section 3.J.8.", Knots and links, AMS Chelsea Publishing, p. 82, (ISBN 978-0821834367)
  • Whitehead, J. H. C. (1934), "Certain theorems about three-dimensional manifolds (I)", Quarterly Journal of Mathematics, 5 (1): 308–320, Bibcode:1934QJMat...5..308W, doi:10.1093/qmath/os-5.1.308
  • Whitehead, J. H. C. (1935), "A certain open manifold whose group is unity", Quarterly Journal of Mathematics, 6 (1): 268–279, Bibcode:1935QJMat...6..268W, doi:10.1093/qmath/os-6.1.268
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