Triangle d'or (géométrie)

Un triangle d'or ou triangle sublime[1] est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est le nombre d'or $\varphi$ :

{a \over b}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1,618~034.

(Voir 1ère figure.)

Triangle d'or. Rapport a/b = nombre d'or φ. Angle au sommet :

\theta

= 36°. Angles de base : 72° chacun.

Le vocabulaire n'est pas stabilisé ; en effet, certains auteurs[2] considèrent aussi comme « triangles d'or » les triangles où ce rapport est ${1 \over \varphi }.$ (Voir § "Tableau récapitulatif".)

Triangle d'or ABC découpé en un triangle d'or BXC et un gnomon d'or AXC.

Angles du triangle d'or

Dans la 2^e figure, BXC est un triangle d'or.

L'angle BCX au sommet C a pour mesure[3] :

\theta =2\arcsin {b \over {2a}}=2\arcsin {1 \over {2\varphi }}=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi  \over 5}~rad=36^{\circ }.

Donc le triangle d'or est un triangle (isocèle) aigu.

Comme la somme des mesures des angles du triangle BXC fait $\pi ~rad$ , les angles de base CBX et CXB valent chacun :

\beta ={{\pi -{\pi  \over 5}} \over 2}={2\pi  \over 5}~rad=72^{\circ }.

[1]

Remarque :

\beta =\arccos {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={2\pi  \over 5}~rad=72^{\circ }.

Le triangle d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 2, 2, 1 (72°, 72°, 36°)[4].

Occurrences

Pentagramme régulier : chaque branche est un triangle d'or.

Les branches du pentagramme régulier sont des triangles d'or (voir 3ème figure).
Dans le décagone régulier, lorsque l'on relie les sommets adjacents au centre, on obtient des triangles d'or[1].
Les pavages de Penrose font intervenir des triangles d'or.

Gnomon d'or

Un gnomon d'or ou triangle d'argent est un triangle isocèle obtus dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est l'inverse ${1 \over \varphi }$ du nombre d'or :

{a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0,618~034.

Le vocabulaire n'est pas stabilisé ; en effet, certains auteurs[2] considèrent aussi comme « triangles d'or » les gnomons d'or. (Voir § "Tableau récapitulatif".)

Angles du gnomon d'or

Dans la 2^e figure, AXC est un gnomon d'or. (Les longueurs AX et CX valent $a'=a=\varphi ~$ , et la longueur AC vaut $b'=\varphi ^{2}$ .)[5]

L'angle AXC au sommet X a pour mesure :

\theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}={\biggl (}2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}{\biggr )}=2\arcsin {\varphi  \over 2}=2\arcsin {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi  \over 5}~rad=108^{\circ }.

Donc le gnomon d'or est un triangle (isocèle) obtus.

(

Remarque :

\theta '=\arccos {{1-{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi  \over 5}~rad=108^{\circ }.)

Comme la somme des mesures des angles du triangle AXC fait $\pi ~rad$ , les angles de base CAX et ACX valent chacun :

\beta '=\theta ={\pi -{3\pi  \over 5} \over 2}={\pi  \over 5}~rad=36^{\circ }.

Remarque :

\beta '=\theta =\arccos {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={\pi  \over 5}~rad=36^{\circ }.

Le gnomon d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 1, 1, 3 (36°, 36°, 108°).

Tableau récapitulatif

Définitions de cet article	Définitions alternatives	$a \over b$	Angle au sommet	Angles égaux de base
Triangle d'or Triangle sublime	Triangle d'or aigu	$\varphi$	36°	72°
Gnomon d'or Triangle d'argent	Triangle d'or obtus	$1 \over \varphi$	108°	36°

Triangle d'or et gnomon d'or associés

Découpages

Triangle (rouge) et gnomon (bleu) d'or découpés en un triangle (3 couleurs) et un gnomon (2 couleurs) d'or.

La figure ci-contre montre que :

En coupant un de ses angles de base en 2 angles égaux, on peut découper un triangle d'or en un triangle d'or et un gnomon d'or.
En coupant son angle au sommet en 2 angles du simple au double, on peut découper un gnomon d'or en un gnomon d'or et un triangle d'or.

Pavages

Deux gnomons d'or et un triangle d'or pavant un pentagone.

On peut paver un pentagone régulier avec deux gnomons d'or et un triangle d'or[6] (voir figure ci-contre).
Ces triangles isocèles peuvent être utilisés pour produire les pavages de Penrose.

Spirale logarithmique

Triangles d'or inscrits dans une spirale logarithmique.

Le triangle d'or peut être utilisé pour placer certains points d'une spirale logarithmique. En procédant à la bissection d'un angle à la base d'un triangle d'or, on obtient un nouveau point, qui à son tour forme un nouveau triangle d'or[7]. En répétant ce procédé, on obtient des points qui permettent de tracer à main levée une spirale logarithmique (voir dernière figure).

Notes et références

(en) Kimberly Elam, Geometry of Design : Studies in Proportion and Composition, New York, Princeton Architectural Press, 2001, 107 p. (ISBN 1-56898-249-6, lire en ligne)
Par exemple Jean-Claude Thiénard, Maryse Cheymol, Maryse Combrade et Louis-Marie Bonneval, Mathématiques seconde (lire en ligne), p. 100
(en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 23 décembre 2019)
(en) « Tilings Encyclopedia »
(en) Arthur Livio, Concepts and Images : Visual Mathematics, Boston, Birkhäuser Boston, 1992 (ISBN 0-8176-3620-X)
(en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 26 décembre 2019)
(en) H. E. Huntley, The Divine Proportion : A Study In Mathematical Beauty, New York, Dover Publications Inc, 1970, 186 p. (ISBN 0-486-22254-3, lire en ligne)

Voir aussi

Crédits de traduction

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Golden triangle (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

Triangle de Kepler
Triangle heptagonal
Rectangle d'or
Losange d'or (en)
Construction du pentagone régulier à la règle et au compas
Luth de Pythagore (en)
Pavage de Penrose
Pentagramme

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur MathWorld
(en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur MathWorld
(en) Triangles de Robinson sur l'encyclopédie des pavages de l'Université de Bielefeld.

Portail de la géométrie

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[elam-1] (en) Kimberly Elam, Geometry of Design : Studies in Proportion and Composition, New York, Princeton Architectural Press, 2001, 107 p. (ISBN 1-56898-249-6, lire en ligne)

[:0-2] Par exemple Jean-Claude Thiénard, Maryse Cheymol, Maryse Combrade et Louis-Marie Bonneval, Mathématiques seconde (lire en ligne), p. 100

[3] (en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 23 décembre 2019)

[tilings-4] (en) « Tilings Encyclopedia »

[loeb-5] (en) Arthur Livio, Concepts and Images : Visual Mathematics, Boston, Birkhäuser Boston, 1992 (ISBN 0-8176-3620-X)

[6] (en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 26 décembre 2019)

[huntley-7] (en) H. E. Huntley, The Divine Proportion : A Study In Mathematical Beauty, New York, Dover Publications Inc, 1970, 186 p. (ISBN 0-486-22254-3, lire en ligne)