Tour de corps

En mathématiques, une tour de corps est une suite d'extensions de corps

F₀ ⊆ F₁ ⊆ ... ⊆ F_n ⊆ ...

Le nom de tour vient du fait qu'une telle suite est souvent écrite sous la forme

{\begin{array}{c}\vdots \\|\\F_{2}\\|\\F_{1}\\|\\F_{0}.\end{array}}

Une tour de corps peut aussi bien être finie qu'infinie.

Exemples

Q ⊆ R ⊆ C est une tour de corps finie composée des corps de nombres rationnels, réels puis complexes.
Soit la suite définie par F₀ l'ensemble des nombres rationnels Q, et

F_{n+1}=F_{n}\left(2^{1/2^{n}}\right)

(i.e. F_n+1 est obtenu à partir de F_n en ajoutant la racine 2^{n ième} de 2). Une telle tour de corps est infinie.

Si p est une nombre premier, la p-ième tour cyclotomique de Q est obtenue en posant F₀ = Q et F_n l'extension de Q par adjonction de la p^{n ième} racine de l'unité. Cette tour est à la base de la théorie d'Iwasawa.
Le théorème de Golod–Shafarevich montre qu'il existe des tours de corps infinie obtenue par l'itération du corps de classes de Hilbert à un corps de nombres.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tower of fields » (voir la liste des auteurs).
Jean-Pierre Escofier, Galois theory, vol. 204, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2001 (ISBN 978-0-387-98765-1)

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