Théorème du sandwich (variante)

Théorème — Soit ${\displaystyle I}$ un intervalle contenant le réel ${\displaystyle a}$. Soient ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle M}$ trois fonctions réelles définies sur ${\displaystyle I}$.

On suppose que :

1. ${\displaystyle \forall x\in I\quad m(x)\leq f(x)\leq M(x)}$ ;
2. ${\displaystyle m(a)=f(a)=M(a)}$ ;
3. ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle M}$ sont dérivables en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle m'(a)=M'(a)}$.

Alors ${\displaystyle f}$ est dérivable en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle f'(a)=m'(a)\ (=M'(a))}$.

Théorème — Soit ${\displaystyle V}$ un voisinage d'un vecteur ${\displaystyle a}$ d'un espace vectoriel normé. Soient ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle M}$ trois fonctions réelles définies sur ${\displaystyle V}$.

On suppose que :

1. ${\displaystyle \forall x\in V\quad m(x)\leq f(x)\leq M(x)}$ ;
2. ${\displaystyle m(a)=f(a)=M(a)}$ ;
3. ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle M}$ sont différentiables en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle {\rm {d}}m_{a}={\rm {d}}M_{a}}$.

Alors ${\displaystyle f}$ est différentiable en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle {\rm {d}}f_{a}={\rm {d}}m_{a}\ (={\rm {d}}M_{a})}$.