Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

En mathématiques, le théorème du point fixe de Markov-Kakutani s'énonce comme suit :

Soient K un compact convexe non vide d'un espace vectoriel topologique séparé X et G un ensemble d'opérateurs affines continus sur X, qui commutent deux à deux et laissent K stable. Alors il existe dans K au moins un point fixe par tous les éléments de G.
Ne doit pas être confondu avec Théorème du point fixe de Kakutani.

Il a été démontré par Markov[1] dans le cas où l'espace vectoriel est localement convexe et par Kakutani[2] dans le cas général[3].

Démonstration[3]
  • Montrons d'abord, pour fixé dans G, que l'ensemble (compact convexe) de ses points fixes dans est non vide. Notons C le compact convexe . Soit un élément de . Pout tout entier , l'élément
    appartient à C, or la suite des converge vers 0, puisque est borné et que
    Comme C est fermé, on en déduit qu'il contient 0, c'est-à-dire qu'il existe bien dans un point fixe par .
  • Du théorème quand G est un singleton (point précédent) on déduit facilement le théorème quand G est fini (par récurrence sur son cardinal).
  • On en déduit le cas général grâce à la caractérisation en termes de fermés de la compacité de K.

Références
  1. A. Markov, « Quelques théorèmes sur les ensembles abéliens », Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 10,‎ , p. 311-314
  2. (en) S. Kakutani, « Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets », Proc. Imp. Acad Tokyo, vol. 14,‎ , p. 242-245
  3. (en) Tullio Ceccherini-Silberstein et Michel Coornaert, Cellular Automata and Groups, Springer, , 440 p. (ISBN 978-3-642-14033-4), 387-389
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