Théorème de l'étoile de David

Les PGCD des coefficients binomiaux situés aux sommets de deux triangles d'une étoile de David dans le triangle de Pascal sont égaux :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{PGCD}}{\biggl (}{\binom {n-1}{k-1}},{\binom {n}{k+1}},{\binom {n+1}{k}}{\biggr )}\\[8pt]={}&{\text{PGCD}}{\biggl (}{\binom {n-1}{k}},{\binom {n}{k-1}},{\binom {n+1}{k+1}}{\biggr )}\end{aligned}}}$

Cette identité a été conjecturée par Henry W. Gould en 1971[1], démontrée par Hoggatt et Hillman en 1972[2], puis par Singmaster en 1973[3], et par Hitotumatu et Sato en 1975[4].

Pour n = 9, k = 3 ou n = 9, k = 6, le nombre 84 est entouré successivement par les nombres 28, 56, 126, 210, 120, 36. En prenant un terme sur deux, on obtient : PGCD (28, 126, 120) = 2 = PGCD (56, 210, 36) (voir ci-contre).

De même, le terme précédent 36 est entouré par les éléments 8, 28, 84, 120, 45, 9, et en prenant un terme sur deux, on obtient : PGCD (8, 84, 45)= 1 = PGCD (28, 120, 9).

La formule :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\binom {n-1}{k-1}}\\{\binom {n}{k+1}}\\{\binom {n+1}{k}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k+1&k-n-1&-n-1\\-k&n-k+1&n\\k+1&k-n&-n\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\binom {n+1}{k+1}}\\{\binom {n}{k-1}}\\{\binom {n-1}{k}}\end{bmatrix}}}$

et la formule inverse :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\binom {n+1}{k+1}}\\{\binom {n}{k-1}}\\{\binom {n-1}{k}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-n&-k&n-k+1\\n&k+1&k-n\\-n-1&-k-1&n-k+1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\binom {n-1}{k-1}}\\{\binom {n}{k+1}}\\{\binom {n+1}{k}}\end{bmatrix}}}$

montrent que chaque élément d'un triangle est combinaison linéaire entière des éléments de l'autre triangle, ce qui implique que les diviseurs communs aux élément d'un triangle, sont des diviseurs communs aux éléments de l'autre triangle et vice versa. Ceci prouve l'égalité des PGCD.

Singmaster [3] a complété cette identité en montrant que les PGCD ci-dessus sont également égaux à ${\displaystyle {\text{PGCD}}{\biggl (}{n-1 \choose k-2},{n-1 \choose k-1},{n-1 \choose k},{n-1 \choose k+1}{\biggr )}}$ .

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus pour l'élément 84, on a également PGCD {8, 28, 56, 70} = 2.

Ces égalités persistent aussi pour des étoiles plus grandes[5]. Par exemple,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{PGCD}}{\biggl (}{\binom {n-2}{k-2}},{\binom {n-1}{k}},{\binom {n}{k+2}},{\binom {n+1}{k+1}},{\binom {n+2}{k}},{\binom {n}{k-1}}{\biggr )}\\[8pt]={}&{\text{PGCD}}{\biggl (}{\binom {n-2}{k}},{\binom {n-1}{k-1}},{\binom {n}{k-2}},{\binom {n+1}{k}},{\binom {n+2}{k+2}},{\binom {n}{k+1}}{\biggr )}.\end{aligned}}}$

Hoggatt et hansell ont remarqué en 1971 que les deux ensembles de trois nombres de l'étoile de David ont des produits égaux [6] :

${\displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}{\binom {n}{k+1}}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n-1}{k}}{\binom {n}{k-1}}{\binom {n+1}{k+1}}}$.

Par exemple, en observant à nouveau que l'élément 84 est entouré successivement par les éléments 28, 56, 126, 210, 120, 36, et en prenant un terme sur deux, on a : 28 × 126 × 120 = 2 ⁶ × 3 ³ × 5 × 7 ² = 56 × 210 × 36.

Ce résultat se démontre facilement en écrivant chaque coefficient binomial sous forme factorielle :${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$.

Il en existe cependant une démonstration combinatoire, moins simple :

On peut remplacer ${\displaystyle {n \choose k}}$ par ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{(a_{n})}={\frac {f(n)}{f(n-k)f(k)}}}$, où ${\displaystyle f(n)=\coprod _{k=1}^{n}a_{k}}$, ${\displaystyle (a_{n})}$ étant une suite de réels non nuls.

En particulier, si ${\displaystyle (a_{n})}$ est la suite de Fibonacci ${\displaystyle (F_{n})}$, ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{(a_{n})}}$ est le coefficient fibonomial ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{F}}$ ; le deuxième théorème de l'étoile de David est donc valable dans le triangle fibonomial.[5]

Si ${\displaystyle (a_{n})}$ est le q-analogue de n : ${\displaystyle [n]_{q}=1+q+...+q^{n-1}}$, ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{(a_{n})}}$ est le coefficient binomial de Gauss ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$ ; le deuxième théorème de l'étoile de David est donc valable dans le triangle q-binomial.

On peut généraliser au cas où ${\displaystyle (a_{n})}$ est une suite quelconque dans un groupe commutatif noté multiplicativement. Par exemple, dans le groupe ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$, ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{(n)}=k(n-k)}$, voir la suite A004247 de l'OEIS.