Théorème de hiérarchie en temps déterministe

Le théorème de hiérarchie en temps déterministe est un énoncé de la théorie de la complexité, un domaine de l'informatique théorique. Informellement, le théorème dit qu'avec plus de temps, une machine déterministe peut résoudre plus de tâches. C'est l'un des théorèmes de hiérarchie en temps (en).

Contexte

Le théorème parle en particulier de machines de Turing déterministes. On note DTIME(f) l'ensemble des problèmes de décision qui peuvent être décidés par une telle machine avec une complexité en temps O(f(n)), où n est la taille de l'entrée.

Énoncé

Le théorème de hiérarchie en temps déterministe est le suivant[1]^,[2] :

Théorème — Soit f et g deux suites d'entiers naturels telles que f(n) est non nul (pour tout n), g est constructible en temps et f.log(f) = o(g). Alors DTIME(f) ⊊ DTIME(g).

Théorème proches

Il existe d'autres théorèmes de hiérarchie. Par exemple, il existe d'autres théorèmes de hiérarchie en temps pour les machines non déterministes. Il existe aussi des théorèmes pour la complexité en espace[3].

Histoire

Le théorème de hiérarchie en temps déterministe est dû à Richard E. Stearns et Juris Hartmanis en 1965[4]. Le résultat a été amélioré par F. C. Hennie et Richard E. Stearns en améliorant l'efficacité de la machine de Turing universelle[5].

Notes et références

Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Ellipses, 2014, 432 p. (ISBN 9782729886929, lire en ligne), chap. 2 (« Considérations de base sur le temps »), p. 35-38.
(en) Luca Trevisan, « Notes on Hierarchy Theorems », 2015, en donne deux démonstrations.
Perifel 2014.
(en) Juris Hartmanis et Richard E. Stearns, « On the computational complexity of algorithms », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 117,‎ mai 1965, p. 285-306 (DOI 10.2307/1994208, JSTOR 1994208, Math Reviews 0170805).
(en) F. C. Hennie et Richard E. Stearns, « Two-Tape Simulation of Multitape Turing Machines », J. ACM, vol. 13, n^o 4,‎ octobre 1966, p. 533-546 (DOI 10.1145/321356.321362).

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[1] Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Ellipses, 2014, 432 p. (ISBN 9782729886929, lire en ligne), chap. 2 (« Considérations de base sur le temps »), p. 35-38.

[2] (en) Luca Trevisan, « Notes on Hierarchy Theorems », 2015, en donne deux démonstrations.

[3] Perifel 2014.

[4] (en) Juris Hartmanis et Richard E. Stearns, « On the computational complexity of algorithms », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 117,‎ mai 1965, p. 285-306 (DOI 10.2307/1994208, JSTOR 1994208, Math Reviews 0170805).

[5] (en) F. C. Hennie et Richard E. Stearns, « Two-Tape Simulation of Multitape Turing Machines », J. ACM, vol. 13, n^o 4,‎ octobre 1966, p. 533-546 (DOI 10.1145/321356.321362).