Théorème de Rabin sur les arbres

En informatique théorique, le théorème de Rabin sur les arbres énonce que la logique monadique du second ordre est décidable sur l'arbre binaire infini complet, mais aussi sur les arbres infinis d'arité fixée, mais aussi sur les arbres infinis d'arité dénombrable. Ce théorème fût énoncé par Michael Rabin en 1969[1],[2].

Explication

Rabin a montré la décidabilité du problème décision suivant : étant donné une formule de la logique monadique du second ordre, est-elle vraie sur l'arbre binaire infini complet ?

Démonstrations

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème dans la littérature[réf. nécessaire]. L'article original de Rabin utilise des automates d'arbres non-déterministes avec des conditions dites de Rabin[1].

Donnons à présent la démonstration issu de[réf. nécessaire]. Sans perte de généralité, on suppose qu'il n'y a pas de variables du premier ordre dans la formule. La démonstration ressemble beaucoup à la démonstration de Büchi pour S1S. On construit par induction sur les formules un automate d'arbres alternants. L'automate d'arbres pour une sous-formule donnée reconnaît exactement les arbres binaires infinis étiquettés par les prédicats (i.e. les variables du second-ordre) qui satisfont cette sous-formule. On teste si la formule est vraie sur l'arbre binaire infini complet ssi le langage de l'automate construit est non vide.

Applications

Le théorème de Rabin sur les arbres permet de démontrer que[2] :

  • la logique modale S4 est décidable ;
  • la logique modale KvB est décidable ;
  • la logique du mu-calcul, la logique temporelle CTL* sont décidables.

Notes et références
  1. (en) Michael O. Rabin, « Decidability of second-order theories and automata on infinite trees », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 74, no 5,‎ , p. 1025–1029 (ISSN 0002-9904 et 1936-881X, lire en ligne, consulté le )
  2. « Cours sur le théorème de Rabin sur les arbres à l'université de Stanford »
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