Théorème de Monge

En analyse mathématique, le théorème de Monge sert à étudier le comportement d'une fonction de deux variables au voisinage d'un point critique ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ :

Pour l’article homonyme, voir Théorème de Monge (géométrie élémentaire).

On pose :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0})=r,\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})=s,\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0})=t}$.

On calcule ${\displaystyle \Delta =s^{2}-rt}$.

On distingue alors trois cas :

• Si ${\displaystyle \Delta <0}$ on a alors un extremum local :
  • si ${\displaystyle r>0}$, c'est un minimum ;
  • si ${\displaystyle r<0}$, c'est un maximum ;
• Si ${\displaystyle \Delta >0}$ on a alors un point selle – ou point col ;
• Si ${\displaystyle \Delta =0}$, on ne peut rien conclure.

• Portail de l'analyse