Théorème de Lindemann-Weierstrass

En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si des nombres algébriques $α 1, \dots , α n$ sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors leurs exponentielles $e α 1, \dots , e α n$ sont algébriquement indépendantes sur Q. En d'autres termes, l'extension Q $(e α 1, \dots , e α n)$ de Q est transcendante de degré $n$ .

Une formulation équivalente du théorème est la suivante[1] : si $α 0, \dots , α n$ sont des nombres algébriques distincts alors $e α 0, \dots , e α n$ sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres algébriques, c'est-à-dire : $a_{0}{\rm {e}}^{\alpha _{0}}+a_{1}{\rm {e}}^{\alpha _{1}}+\ldots +a_{n}{\rm {e}}^{\alpha _{n}}\neq 0$ pour tous nombres algébriques $a i$ non tous nuls.

En 1882, ce théorème fut annoncé par Ferdinand von Lindemann à la fin de son article sur le cas particulier $n = 1$ , et fut aussitôt démontré par Karl Weierstrass, qui diffusa son manuscrit mais différa jusqu'en 1885 sa publication[2]^,[3].

Le cas $n = 1$

En 1882, Lindemann avait esquissé[2] la preuve du fait que pour tout nombre algébrique $a$ non nul, le nombre $e a$ est transcendant (ce qui redémontrait que $e$ est transcendant et prouvait que $π$ l'est aussi). C'est le cas $n = 1$ du théorème démontré par Weierstrass.

En effet (avec la première formulation),

$a$ est non nul équivaut à : l'ensemble ${a}$ est linéairement libre sur Q, et
$e a$ est transcendant équivaut à : l'ensemble ${e a}$ est algébriquement libre sur Q

En utilisant la seconde formulation, on peut le réécrire :

$a$ est non nul équivaut à : $0$ et $a$ sont distincts, et
$e a$ est transcendant équivaut à : $e 0$ et $e a$ sont linéairement indépendants sur Q.

Conjecture $p$ -adique

L'analogue $p$ -adique du théorème de Lindemann-Weierstrass est la conjecture suivante : « soient [ $p$ un nombre premier et] $β 1, \dots , β n$ des nombres $p$ -adiques algébriques [Q-linéairement indépendants et] appartenant au domaine de convergence de l'exponentielle $p$ -adique $exp p$ . Alors les $n$ nombres $exp p (β 1), \dots , exp p (β n)$ sont algébriquement indépendants sur Q[4]. »

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lindemann–Weierstrass theorem » (voir la liste des auteurs).

(en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1990 (1^re éd. 1975) (ISBN 9780521397919, lire en ligne), chap. 1, Theorem 1.4.
(en) David E. Rowe, « Historical events in the background of Hilbert's seventh Paris problem », dans David E. Rowe et Wann-Sheng Horng, A Delicate Balance: Global Perspectives on Innovation and Tradition in the History of Mathematics, Birkhäuser, 2015, p. 211-244.
(de) K. W. Weierstrass, « Zu Lindemann's Abhandlung: "Über die Ludolph'sche Zahl" », Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., vol. 5,‎ 1885, p. 1067-1085 (DOI 10.1007/978-1-4757-4217-6_23).
(en) Michel Waldschmidt, « Open Diophantine Problems », Moscow Mathematical Journal, vol. 4, n^o 1,‎ 2004, p. 245-305 (lire en ligne), Conjecture 3.11.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) « Proof of Lindemann-Weierstrass theorem and that e and $π$ are transcendental » (démonstration tirée de Baker 1990 et détaillée), sur le site PlanetMath.

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[Baker-1] (en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1990 (1^re éd. 1975) (ISBN 9780521397919, lire en ligne), chap. 1, Theorem 1.4.

[Rowe-2] (en) David E. Rowe, « Historical events in the background of Hilbert's seventh Paris problem », dans David E. Rowe et Wann-Sheng Horng, A Delicate Balance: Global Perspectives on Innovation and Tradition in the History of Mathematics, Birkhäuser, 2015, p. 211-244.

[3] (de) K. W. Weierstrass, « Zu Lindemann's Abhandlung: "Über die Ludolph'sche Zahl" », Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., vol. 5,‎ 1885, p. 1067-1085 (DOI 10.1007/978-1-4757-4217-6_23).

[4] (en) Michel Waldschmidt, « Open Diophantine Problems », Moscow Mathematical Journal, vol. 4, n^o 1,‎ 2004, p. 245-305 (lire en ligne), Conjecture 3.11.