Théorème de Gua

Soit O,A,B,C un tétraèdre tri-rectangle en O.

Le carré de l'aire de la face ABC est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

${\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}$

Notons a,b,c les longueurs respectives des arêtes OA,OB,OC

Considérons le volume intérieur découpé par le tétraèdre, il est égal à abc/6=c/3${\displaystyle A_{\color {blue}ABO}}$=b/3${\displaystyle A_{\color {green}ACO}}$=a/3${\displaystyle A_{\color {red}BCO}}$ mais aussi à h/3${\displaystyle A_{ABC}}$ où h désigne la hauteur associée à la face ABC.

Comme le vecteur ${\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}}$ est normal au plan ABC, cette hauteur vaut ${\displaystyle \scriptstyle h={<{\overrightarrow {OA}}|{\overrightarrow {n}}> \over ||{\overrightarrow {n}}||}}$

On a donc, en égalant les volumes : ${\displaystyle {\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A_{ABC}}$. Soit en simplifiant ${\displaystyle 4A_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}}$ ; la formule demandée.

La formule s'étend aux dimensions supérieures, ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes[2] dès 1619/1623.

Une démonstration de ce cas général se trouve dans le numéro 6 de l'American Monthly 2006[3].

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