Théorème de Gauss (électromagnétisme)

Le théorème de Gauss est la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss, ${\displaystyle \textstyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$. À l'aide du théorème de la divergence, il vient :

${\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {E}}\,{\overrightarrow {\mathrm {d} S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V}$,

${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{int}}{\varepsilon _{0}}}}$,

où

• ${\displaystyle \textstyle \Phi _{E}=\int \!\!\int _{S}{\overrightarrow {E}}\,{\overrightarrow {\mathrm {d} S}}}$ est le flux du champ électrique à travers une surface fermée ${\displaystyle S}$ contenant un volume ${\displaystyle V}$,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est la permittivité du vide,
• ${\displaystyle \rho }$ est la densité volumique de charge dans le volume,
• ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}}$ est un élément de surface,
• ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ est un élément de volume,
• ${\displaystyle Q_{int}}$ est la charge totale comprise à l'intérieur du volume.

Le théorème de Gauss trouve son utilité pour calculer le champ électrique en un certain point, calcul qui serait plus complexe si la loi de Coulomb était utilisée. Il faut toutefois que la répartition des charges présente une symétrie et que la surface de Gauss choisie soit adéquate. C'est une propriété générale en physique provenant du principe de Curie : les effets ont, au moins, les mêmes symétries que les causes.

Il est également possible de définir un théorème de Gauss appliqué cette fois-ci au flux du champ de gravitation ${\displaystyle {\overrightarrow {g}}}$ à travers une surface fermée ${\displaystyle S}$ contenant un volume ${\displaystyle V}$ :

${\displaystyle \Phi _{g}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {g}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=-4\pi \,G\,\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho _{m}\,\mathrm {d} V=-4\pi \,G\,M_{int}}$,

où ${\displaystyle G}$ est la constante de gravitation universelle, ${\displaystyle \rho _{m}}$ est la densité de masse du milieu et ${\displaystyle M_{int}}$ est la masse totale comprise à l'intérieur du volume.

• Surface de Gauss
• Théorème de la divergence
• Théorème de Gauss (gravitation)
• Théorème de Stokes

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