Théorème de Cayley
En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique :
Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn.
Ne doit pas être confondu avec Théorème de Cayley-Hamilton.
Démonstration
Soit G un groupe et g un élément de ce groupe. On définit l'application tg de G dans G comme étant la translation à gauche :
L'associativité de la loi du groupe équivaut à :
On en déduit en particulier que tg est une permutation (de bijection réciproque tg−1), ce qui permet de définir une application t de G dans S(G) par :
- D'après , t est un morphisme de groupes.
- Son noyau est le groupe trivial {e} (où e désigne l'élément neutre de G) car si un élément g de G est tel que tg soit l'application identité alors g = tg(e) = e.
D'après le premier théorème d'isomorphisme, t réalise donc un isomorphisme entre G et le sous-groupe Im(t) de S(G).
Remarques
- Si G est d'ordre n, le groupe Sn dans lequel il est plongé est d'ordre n!.
- Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.
Utilisations
- Ce théorème est utilisé en théorie des représentations de groupes. Soient G un groupe et une base d'un espace vectoriel E de dimension |G|. Le théorème de Cayley indique que G est isomorphe à un groupe de permutations des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un endomorphisme de E qui ici, par construction, est un automorphisme de E. Cela définit une représentation du groupe : sa représentation régulière.
- Il intervient aussi dans une démonstration du premier théorème de Sylow.
Historique
Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854[1]. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille Jordan[2], qui l'a formulé et prouvé plus explicitement dans un traité en 1870[3],[4] : les permutations tg sont « régulières », c'est-à-dire que pour g ≠ e, tg est sans point fixe et les cycles disjoints dont elle est produit sont tous de même longueur.
Notes et références
- (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 », Philos. Mag., vol. 7, no 4, , p. 40-47.
- Par exemple dans (en) William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, (1re éd. 1911) (ISBN 978-0-486-49575-0, lire en ligne), p. 22.
- Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, Gauther-Villars, (lire en ligne), p. 60-61.
- Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de (en) Eric Nummela, « Cayley's Theorem for Topological Groups », Amer. Math. Month., vol. 87, no 3, , p. 202-203 (JSTOR 2321608).