Théorème d'approximation de Dirichlet

Le théorème d'approximation de Dirichlet est le résultat suivant[1] d'approximation diophantienne simultanée de $d$ réels $x_{1},\dots ,x_{d}$ :

Pour tout réel $N \geq 1$ , il existe un entier $q$ tel que
$1\leq q\leq N\quad {\text{et}}\quad d(qx_{j},\mathbb {Z} )<N^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)$ ,

dont le cas particulier N = Q^d avec Q entier[2] se démontre par le principe des tiroirs de Dirichlet[3], ou le résultat suivant[4]^,[5] (plus général[6]) :

Pour tout réel $M > 1$ , il existe un entier $q$ tel que
$1\leq q<M\quad {\text{et}}\quad d(qx_{j},\mathbb {Z} )\leq M^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)$ ,

qui utilise un théorème de Minkowski ou de Blichfeldt.

Utilisations

Ce théorème est appliqué notamment en théorie des nombres (approximations diophantiennes, théorie des séries de Dirichlet) et dans la théorie des fonctions presque périodiques.

Un corollaire élémentaire du cas d = 1 est que la mesure d'irrationalité de tout irrationnel est supérieure ou égale à 2.

Le théorème est aussi lié à la conjecture du coureur solitaire[7].

Références

(en) « Dirichlet theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne) (énoncé seulement pour $N$ entier). Une généralisation est démontrée dans (en) J. W. S. Cassels, An Introduction to Diophantine Approximation, CUP, 1965 (lire en ligne), p. 13.
Seul le corollaire suivant est énoncé sous cet intitulé dans (en) E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Clarendon Press, 1951 (lire en ligne), chap. VIII : pour tous réels $a 1, a 2, \dots , a d$ , tout entier $Q > 0$ et tout réel $t 0 > 0$ , il existe un réel $t$ tel que $t 0 \leq t \leq t 0 Q d$ et $d(ta_{j},\mathbb {Z} )\leq 1/Q\quad (j=1,2,\ldots ,d)$ .
G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 216-217, th. 200.
Uné généralisation est démontrée dans (en) Wolfgang M. Schmidt, Diophantine Approximation, Springer, 1980 (lire en ligne), p. 28-32.
(en) Thomas W. Cusick, « Dirichlet's diophantine approximation theorem », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 16, n^o 2,‎ 1977, p. 219-224 (DOI 10.1017/S0004972700023224, lire en ligne), ne l'énonce que pour $M$ entier.
Le premier énoncé se déduit du second en prenant $M=\lfloor N\rfloor +1$ .
(en) Terence Tao, « A remark on the lonely runner conjecture », sur terrytao.wordpress.com, 13 mai 2015.

Articles connexes

Démonstration du théorème de Dirichlet à partir de celui de Minkowski
Théorèmes de Dirichlet
Théorème de Kronecker (approximation diophantienne)
Théorème du sous-espace (en)

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] (en) « Dirichlet theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne) (énoncé seulement pour $N$ entier). Une généralisation est démontrée dans (en) J. W. S. Cassels, An Introduction to Diophantine Approximation, CUP, 1965 (lire en ligne), p. 13.

[2] Seul le corollaire suivant est énoncé sous cet intitulé dans (en) E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Clarendon Press, 1951 (lire en ligne), chap. VIII : pour tous réels $a 1, a 2, \dots , a d$ , tout entier $Q > 0$ et tout réel $t 0 > 0$ , il existe un réel $t$ tel que $t 0 \leq t \leq t 0 Q d$ et $d(ta_{j},\mathbb {Z} )\leq 1/Q\quad (j=1,2,\ldots ,d)$ .

[3] G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 216-217, th. 200.

[4] Uné généralisation est démontrée dans (en) Wolfgang M. Schmidt, Diophantine Approximation, Springer, 1980 (lire en ligne), p. 28-32.

[5] (en) Thomas W. Cusick, « Dirichlet's diophantine approximation theorem », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 16, n^o 2,‎ 1977, p. 219-224 (DOI 10.1017/S0004972700023224, lire en ligne), ne l'énonce que pour $M$ entier.

[6] Le premier énoncé se déduit du second en prenant $M=\lfloor N\rfloor +1$ .

[7] (en) Terence Tao, « A remark on the lonely runner conjecture », sur terrytao.wordpress.com, 13 mai 2015.