Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

Le théorème d'Euler, nommé d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Soient C un cône de ℝⁿ et k un réel.

Une fonction de plusieurs variables f : C → ℝ^m différentiable en tout point est positivement homogène de degré k si et seulement si la relation suivante, appelée identité d'Euler, est vérifiée :

${\displaystyle \forall x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\quad \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)=kf(x)}$[1].

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L'identité d'Euler citée ici ne doit pas être confondue avec l'identité d'Euler liant des constantes fondamentales.