Test du multiplicateur de Lagrange

Le test du multiplicateur de Lagrange (LM) ou test de score ou test de Rao est un principe général pour tester des hypothèses sur les paramètres dans un cadre de vraisemblance. L'hypothèse sous le test est exprimé comme une ou plusieurs contraintes sur les valeurs des paramètres. Pour effectuer une estimation du test LM uniquement des paramètres soumis aux restrictions est requis^[pas clair]. Ceci contraste avec les tests de Wald, qui sont basés sur les estimations non restreintes, et les tests de rapport de vraisemblance qui nécessitent à la fois des restrictions et estimations sans restriction. Le nom du test est motivé par le fait qu'il peut être considéré comme tester si les multiplicateurs de Lagrange impliqués dans l'application des restrictions sont significativement différents de zéro. Le terme « multiplicateur de gamme » lui-même est un mot mathématique plus large inventé après le travail du dix-huitième siècle mathématicien Joseph-Louis Lagrange.

Le principe de test LM a trouvé une large applicabilité à de nombreux problèmes d'intérêt pour l'économétrie. De plus, l’idée de tester le coût de l’imposition les restrictions, bien qu’initialement formulées dans un cadre de probabilité, a été étendu à d'autres environnements d'estimation, y compris la méthode de moments et estimation robuste.

Test

On reprend l'estimateur du maximum de vraisemblance ${\hat {\theta }}$ , défini comme la valeur à laquelle la vraisemblance de $\theta$ au vu des observations $(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})$ d'un n-échantillon indépendamment et identiquement distribué selon la loi ${\mathcal {D}}_{\theta }$ est maximale.

L(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n};\theta )=f(x_{1};\theta )\times f(x_{2};\theta )\times \ldots \times f(x_{n};\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )

On sait que le score

s(\theta )={\frac {\partial L(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n};\theta )}{\partial \theta }}

est censé être proche de 0 pour des valeurs proches de ${\hat {\theta }}$ .

Plus précisément, ${\frac {s({\hat {\theta }})}{\sqrt {n}}}$ converge en loi vers une loi normale centrée réduite.

La statistique utilisée est $S_{n}={\frac {1}{n}}{\frac {s({\hat {\theta }})^{2}}{I_{n}(\theta )}}$ , avec $I n$ l'information de Fisher. Sous l'hypothèse nulle, $S n$ tend vers une loi du χ² à $dim(θ)$ degrés de liberté ; si $S n$ prend des valeurs trop grandes, l'hypothèse nulle est rejetée.

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