Test de Bartlett

En statistique, le test de Bartlett du nom du statisticien anglais Maurice Stevenson Bartlett (18 juin 1910 – 8 janvier 2002) est utilisé en statistique pour évaluer si k échantillons indépendants sont issus de populations de même variance (condition dite d'homoscédasticité). C'est un test paramétrique.

Tout comme le test de Fisher, le test d'égalité des variances de Bartlett s'effondre totalement dès que l'on s'écarte, même légèrement, de la distribution gaussienne[1]^,[2]. Cependant, le test de Levene et le test de Brown-Forsythe sont plus robustes, c'est-à-dire moins sensibles aux écarts par rapport à l'hypothèse de normalité, et sont des alternatives crédibles au test de Bartlett et au test de Fisher[3].

Formalisation

Le test de Bartlett est utilisé pour évaluer l'hypothèse nulle, H₀, d'après laquelle les variances de k échantillons tirés sont identiques, contre l'hypothèse alternative, H1, qu'au moins deux d'entre elles sont différentes.

Soit k échantillons de taille $n_{i}$ et de variances empiriques $S_{i}^{2}$ , alors la statistique de test est telle que :

X^{2}={\frac {(N-k)\ln(S_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\ln(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\sum _{i=1}^{k}({\frac {1}{n_{i}-1}})-{\frac {1}{N-k}}\right)}}

où $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$ et $S_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i}(n_{i}-1)S_{i}^{2}$ est l'estimation globale de la variance.

Sous l'hypothèse nulle, le test statistique suit approximativement une loi du $\chi _{k-1}^{2}$ . Le critère du test est tel que l'hypothèse nulle est rejetée si $X^{2}>\chi _{k-1,\alpha }^{2}$ ,

où $\chi _{k-1,\alpha }^{2}$ est la valeur critique limite supérieure de la distribution $\chi _{k-1}^{2}$ .

Références

(en)« Bartlett's Test », Ailen M. Sanckcs & Juilia C Hutton, juin 196 (consulté le 19 novembre 2013)
« Comparaison de populations. Tests paramétriques », Ricco Rakotomalala (Université Lumière Lyon 2), 11 juin 2013 (consulté le 19 novembre 2013)
(en)« Robust Tests for the Equality of Variances », Brown, Morton B. & Alan B. Forsythe, 1974 (consulté le 19 novembre 2013)

Bibliographie

Bartlett, M. S. (1937). "Properties of sufficiency and statistical tests". Proceedings of the Royal Statistical Society, Series A 160, 268–282 JSTOR:96803.
Brown, Morton B.; Forsythe, Alan B. (1974), "'Robust tests for equality of variances", Journal of the American Statistical Association 69: 364–367.
Levene, Howard (1960). Ingram Olkin, Harold Hotelling, et alia, ed. Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling. Stanford University Press. pp. 278–292.
Snedecor, George W. and Cochran, William G. (1989), Statistical Methods, Eighth Edition, Iowa State University Press. (ISBN 978-0-8138-1561-9).

Articles connexes

Notes

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[Test_de_Bartlett-1] (en)« Bartlett's Test », Ailen M. Sanckcs & Juilia C Hutton, juin 196 (consulté le 19 novembre 2013)

[Comparaison_de_populations-2] « Comparaison de populations. Tests paramétriques », Ricco Rakotomalala (Université Lumière Lyon 2), 11 juin 2013 (consulté le 19 novembre 2013)

[Robust_Tests_for_the_Equality_of_Variances-3] (en)« Robust Tests for the Equality of Variances », Brown, Morton B. & Alan B. Forsythe, 1974 (consulté le 19 novembre 2013)