Système de transition d'états

Un système de transition d'états non étiqueté est un couple ${\displaystyle (S,\rightarrow )}$, où ${\displaystyle S}$ est l'ensemble des états et ${\displaystyle \rightarrow \subseteq S\times S}$ est la relation de transition. Si ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ sont deux états, ${\displaystyle (p,q)\in \rightarrow }$ signifie qu'il existe une transition de ${\displaystyle p}$ à ${\displaystyle q}$, et on l'écrit ${\displaystyle p\rightarrow q}$.

On ne fait aucune hypothèse a priori sur ${\displaystyle S}$ et ${\displaystyle \rightarrow }$, et ils peuvent être infinis, voire indénombrables.

Un système de transition d'états étiqueté est un triplet ${\displaystyle (S,\Lambda ,\rightarrow )}$, avec ${\displaystyle S}$ l'ensemble des états, ${\displaystyle \Lambda }$ un ensemble d'étiquettes et ${\displaystyle \rightarrow \subseteq S\times \Lambda \times S}$ la relation de transition. S'il existe une transition étiquetée par ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ entre deux états ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$, on écrit alors ${\displaystyle p{\xrightarrow {\lambda }}q}$.

Il est à noter que la définition de la relation de transition ne précise pas s'il s'agit d'une relation binaire :

• de ${\displaystyle S}$ dans ${\displaystyle \Lambda \times S}$ (cas non pertinent dans le cadre des systèmes de transition d'états) ;
• de ${\displaystyle S\times \Lambda }$ dans ${\displaystyle S}$ (cas des automates finis) ;
• de ${\displaystyle S\times \Lambda _{1}}$ dans ${\displaystyle \Lambda _{2}\times S}$ avec ${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}\times \Lambda _{2}}$ (cas des transducteurs finis).

Dans le cas où ${\displaystyle S}$ et ${\displaystyle \Lambda }$ sont finis, on parle d'automate fini (ou machine à états finie). En général, on se donnera aussi une condition d'acceptation de mot d'entrée, qui sera souvent la donnée de deux parties de S qui seront les états initiaux et les états accepteurs.^[pas clair]

Le système de transition est dit déterministe si par définition ${\displaystyle \rightarrow }$ est une fonction. L'expression système de transition non déterministe qualifie tous les systèmes de transition d'états quand on a besoin de préciser qu'on ne se retreint pas aux systèmes déterministes.

Les systèmes de transitions jouent un rôle important^[Lequel ?] dans la reconnaissance des langages formels, notamment dans leur classification.

En vérification de modèles (en anglais : model checking), les systèmes de transitions d'états possèdent en plus une fonction d'étiquetage pour les états (voir par exemple structure de Kripke[1]).

Un système d'états-transitions non étiqueté est un système abstrait de réécriture (en)[2].