Symbole de Kronecker

En mathématiques, le delta de Kronecker[N 1] est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec.

\delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}

ou, en notation tensorielle :

\delta _{i}^{j}=\delta _{i}\cdot \delta ^{j}

où $δ i$ et $δ j$ sont des vecteurs unitaires tels que seule la $i$ -ème (respectivement la $j$ -ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).

Lorsque l’une des variables est égale à 0, on l’omet généralement, d’où :

\delta _{i}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=0\\0&{\mbox{si }}i\neq 0\end{cases}}

Histoire

L'éponyme du symbole de Kronecker[10]^,[11]^,[12] est le mathématicien Leopold Kronecker (1823-1891) qui l'a introduit en 1866[13]^,[14]^,[15].

Exemples

Le delta de Kronecker est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple :

en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire : $(\delta _{ij})_{(i,j)\in \{1,2,3\}^{2}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ;
lors de sommations, le delta de Kronecker entraîne des simplifications : $\sum _{k=1}^{n}a_{k}\delta _{k,i}=\left\{{\begin{array}{cl}a_{i}&{\textrm {si}}\quad 1\leq i\leq n\\0&{\textrm {sinon.}}\quad \end{array}}\right.$

Notes et références

Notes

Le symbole de Kronecker[1]^,[2]^,[3]^,[4] est aussi connu comme le symbole delta de Kronecker[5]^,[6] ou le delta de Kronecker[7]^,[8]^,[4]^,[9].

Références

Barrau et Grain 2016, p. 53 et 108.
Gourgoulhon 2010, p. 10 et 22.
Heyvaerts 2012, p. 132 et 140.
Semay et Silvestre-Brac 2016, p. 137.
Crépieux 2019, chap. 2, sect. 2, § 2.1, p. 34.
Penrose 2007, chap. 12, § 12.8, p. 234, fig. 12.17.
Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 8.
Penrose 2007, p. 251.
Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.
Diu 2010, 5^e part., chap. 17, p. 229.
Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 7-8.
Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.delta [δ], 3, p. 193, col. 1.
Cooke 2017, 1^re part., chap. 2, sect. 10, § 10.2, p. 108, n. 11.
Hawkins 1977, p. 136, n. 11.
Kuptsov 1990, p. 309, col. 1.

Voir aussi

Bibliographie

[Cooke 2017] (en) R. Cooke, It's about time : elementary mathematical aspects of relativity [« Aspects mathématiques élémentaires de la relativité »], Providence, AMS, monogr. hors coll. (n^o 102), fév. 2017, 1^re éd., 1 vol., XIX-403 p., 18,4 × 25,4 cm (ISBN 978-1-4704-3483-0 et 978-2-88915-009-0, EAN 9781470434830, OCLC 987376376, DOI 10.1090/mbk/102, SUDOC 200727192, présentation en ligne, lire en ligne).
[Frey 2006] F. Frey, Mécanique des solides, Lausanne, PPUR, coll. « Traité de génie civil de l'École polytechnique fédérale de Lausanne / Analyse des structures et milieux continus » (n^o 3), 1990 (réimpr. 2006), 1^re éd., 1 vol., XII-192 p., ill., 19 × 24 cm (EAN 9782880743581, OCLC 468099866, notice BnF n^o FRBNF36971146, SUDOC 008236720, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3 (« Symbole de Kronecker »), p. 7-8
[Hawkins 1977] (en) Th. Hawkins, « Weierstrass and the theory of matrices » [« Weierstrass et la théorie des matrices »], Arch. Hist. Exact Sci., vol. 17, n^o 2,‎ juill. 1977, art. n^o 2, p. 119-163 (DOI 10.1007/BF02464978, JSTOR 41133484).
[Penrose 2007] R. Penrose (trad. de l'angl. par C. Laroche), À la découverte des lois de l'Univers : la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique [« The road to reality : a complete guide to the laws of the Universe »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », août 2007, 1^re éd., 1 vol., XXII-1061 p., ill. et fig., 15,5 × 24 cm (ISBN 978-2-7381-1840-0, EAN 9782738118400, OCLC 209307388, notice BnF n^o FRBNF41131526, SUDOC 118177311, présentation en ligne, lire en ligne).

Ouvrages de vulgarisation

[Diu 2010] B. Diu, La mathématique du physicien, Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », mars 2010, 1^re éd., 1 vol., 380 p., ill. et fig., 14,5 × 22 cm (ISBN 978-2-7381-2448-7, EAN 9782738124487, OCLC 690805807, notice BnF n^o FRBNF42179060, SUDOC 143407058, présentation en ligne, lire en ligne).
[Gourgoulhon 2010] É. Gourgoulhon, Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / Physique », mai 2010, 1^re éd., 1 vol., XXVI-776 p., ill., 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 731758818, notice BnF n^o FRBNF41411713, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

[Kuptsov 1990] (en) L. P. Kuptsov, « Kronecker symbol », dans M. Hazewinkel (éd.), Encyclopaedia of mathematics, t. V : I – Lituus, Dordrecht, Boston et Londres, Kluwer Acad., 1990, 1^re éd., 1 vol., IX-534 p., ill., 30 cm (ISBN 978-1-55608-004-3 et 978-94-009-5990-3, EAN 9781556080043, OCLC 491733136, notice BnF n^o FRBNF37357904, DOI 10.1007/978-94-009-5988-0, SUDOC 075475111, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Kronecker symbol [« symbole de Kronecker »], p. 309, col. 1-2.
[Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956 p., ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.

Manuels et notes de cours

[Barrau et Grain 2016] A. Barrau et J. Grain, Relativité générale (cours et exercices corrigés), Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), 1 vol., VIII-231 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, notice BnF n^o FRBNF45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
[Crépieux 2019] A. Crépieux, Introduction à la physique de la matière condensée : propriétés électroniques (cours et exercices corrigés), Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », fév. 2019, 1^re éd., 1 vol., XII-276 p., ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-078944-3, EAN 9782100789443, OCLC 1085246645, notice BnF n^o FRBNF45664071, SUDOC 233879323, présentation en ligne, lire en ligne).
[Feynman 2001] R. Ph. Feynman (trad. de l'angl. amér. par C. Laroche), Leçons sur la gravitation [« Feynman lectures on gravitation »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », oct. 2001 (réimpr. fév. 2006), 1^re éd., 1 vol., 278 p., ill., 14,5 × 22 cm (ISBN 2-7381-1038-X, EAN 9782738110381, OCLC 50419539, notice BnF n^o FRBNF37719654, SUDOC 059349336, présentation en ligne, lire en ligne).
[Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts, Astrophysique : étoiles, univers et relativité (cours et exercices corrigés), Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup. », août 2012, 2^e éd. (1^re éd. sept. 2006), 1 vol., X-384 p., ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-058269-3, EAN 9782100582693, OCLC 816556703, notice BnF n^o FRBNF42740481, SUDOC 163817030, présentation en ligne, lire en ligne).
[Semay et Silvestre-Brac 2016] C. Semay et B. Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications (cours et exercices corrigés), Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », mars 2016, 3^e éd. (1^re éd. oct. 2005), 1 vol., X-309 p., ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074703-0, EAN 9782100747030, OCLC 945975983, notice BnF n^o FRBNF45019762, SUDOC 192365681, présentation en ligne, lire en ligne).

Article original

(de) L. Kronecker, « Über bilineare Formen », Monatsberichte der Königlichen Preussischen Akademie zu Berlin,‎ 1867, p. 597-612.
(de) L. Kronecker, « Ueber bilineare Formen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 68,‎ 1868, p. 273-285 (lire en ligne).

Articles connexes

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[10] Le symbole de Kronecker[1]^,[2]^,[3]^,[4] est aussi connu comme le symbole delta de Kronecker[5]^,[6] ou le delta de Kronecker[7]^,[8]^,[4]^,[9].

[BarrauGrain201653_et_108-1] Barrau et Grain 2016, p. 53 et 108.

[Gourgoulhon201010_et_22-2] Gourgoulhon 2010, p. 10 et 22.

[Heyvaerts2012132_et_140-3] Heyvaerts 2012, p. 132 et 140.

[SemaySilvestre-Brac2016137-4] Semay et Silvestre-Brac 2016, p. 137.

[Crépieux201934<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.1</span>-5] Crépieux 2019, chap. 2, sect. 2, § 2.1, p. 34.

[Penrose2007234,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="figure"_>fig.</abbr>_12.17</span><span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;12.8</span>-6] Penrose 2007, chap. 12, § 12.8, p. 234, fig. 12.17.

[8<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_1.7</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.7.3</span>Frey_2006-7] Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 8.

[Penrose2007251-8] Penrose 2007, p. 251.

[TailletVillainFebvre2018414,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''Kronecker_(delta_de)-9] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.

[Diu2010229<abbr_class="abbr"_title="Cinquième">5<sup>e</sup></abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;17</span>-11] Diu 2010, 5^e part., chap. 17, p. 229.

[7-8<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_1.7</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.7.3</span>Frey_2006-12] Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 7-8.

[TailletVillainFebvre2018193,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''delta_[δ],_3-13] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.delta [δ], 3, p. 193, col. 1.

[Cooke2017108,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;11</span><abbr_class="abbr"_title="Première">1<sup>re</sup></abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_10</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;10.2</span>-14] Cooke 2017, 1^re part., chap. 2, sect. 10, § 10.2, p. 108, n. 11.

[Hawkins1977136,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;11</span>-15] Hawkins 1977, p. 136, n. 11.

[Kuptsov1990309,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-16] Kuptsov 1990, p. 309, col. 1.