Suite automatique

Les automates finis utilisés dans la définition des suites automatiques diffèrent légèrement des automates finis déterministes complets ; ils sont tous déterministes et complets, mais au lieu d'avoir un ensemble d'état séparé en deux parties, les états terminaux et les autres, les états de ces automates sont partitionnés en plusieurs classes et chaque classe se voit attribuer un symbole dans un alphabet donné. Lorsqu'un mot est lu, le résultat du calcul est le symbole de la classe de l'état d'arrivé. Un tel automate est appelé DFAO pour « déterministic finite automaton with output ».

Automate déterministe avec sortie

Soit ${\displaystyle k\geq 1}$ un entier. Un automate déterministe avec sortie (en anglais DFAO)[4] ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(\Sigma ,Q,q_{0},\delta ,\pi )}$ est un automate fini déterministe complet où :

• L'alphabet ${\displaystyle \Sigma }$ est égal à ${\displaystyle \{0,\ldots ,k-1\}}$;
• ${\displaystyle Q}$ est l'ensemble des états ;
• ${\displaystyle q_{0}\in Q}$ est l'état initial ;
• ${\displaystyle \delta }$ est une application de ${\displaystyle Q\times \Sigma }$ dans ${\displaystyle Q}$ appelée fonction de transition ;
• ${\displaystyle \pi :Q\to A}$ est une application qui étiquette les états de l'automate par des symboles de ${\displaystyle A}$.

L'automate n'a pas d'états terminaux, ils sont remplacés par l'application ${\displaystyle \pi }$. Ne pas confondre avec l'automate de Mealy, ou l'automate de Moore.

On étend ${\displaystyle \delta }$ en une application ${\displaystyle \delta ^{*}:Q\times \Sigma ^{*}\to Q}$ à l'ensemble des mots de ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ en posant :

• ${\displaystyle \delta ^{*}(q,\varepsilon )=q}$ où ${\displaystyle \varepsilon }$ est le mot vide ;
• ${\displaystyle \delta ^{*}(q,xm)\delta ^{*}(\delta (q,x),m)}$ pour ${\displaystyle x\in \Sigma }$ et ${\displaystyle m\in \Sigma ^{*}}$.

Définition d'une suite ${\displaystyle k}$-automatique par automate

Pour tout entier ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, on note ${\displaystyle {\bar {n}}_{k}}$ l'écriture en base ${\displaystyle k}$ de l'entier ${\displaystyle n}$[5]. L'automate ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ lit l'entier ${\displaystyle n}$ sous la forme de son écriture ${\displaystyle {\bar {n}}_{k}}$ en base ${\displaystyle k}$ et, partant de l'état initial ${\displaystyle q_{0}}$, calcule, en « consommant » les chiffres de ${\displaystyle {\bar {n}}_{k}}$, l'état d'arrivée ${\displaystyle q=\delta ^{*}(q_{0},{\bar {n}}^{k})}$. Le résultat du calcul est le symbole ${\displaystyle a_{n}=\pi (q)}$.

Exemple

Automate de Prouhet-Thue-Morse. Notation: ${\displaystyle q_{i}/\alpha }$ est l'état ${\displaystyle q_{i}}$ avec ${\displaystyle \pi (q_{i})=\alpha }$. C'est un exemple de DFAO.

La suite de Prouhet-Thue-Morse. Elle peut être définie par l'automate ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(\Sigma ,Q,q_{0},\delta ,\pi )}$ où : ${\displaystyle \Sigma =\{0,1\}}$, ${\displaystyle Q=\{q_{0},q_{1}\}}$ avec état initial ${\displaystyle q_{0}}$. La fonction de transition est donnée par ${\displaystyle \delta (q_{i},0)=q_{i}}$ et ${\displaystyle \delta (q_{i},1)=q_{1-i}}$. Enfin, ${\displaystyle \pi (q_{i})=i}$.

L'écriture binaire des entiers naturels montre qu'après lecture du mot ${\displaystyle {\bar {n}}_{2}}$ on est dans ${\displaystyle q_{0}}$ ou ${\displaystyle q_{1}}$ selon que ${\displaystyle {\bar {n}}_{2}}$ comporte un nombre pair ou impair de chiffres 1.

Préliminaire sur les morphismes

Soit ${\displaystyle k\geq 2}$ et soit ${\displaystyle B}$ un alphabet.

• Un morphisme ${\displaystyle f:B^{*}\to B^{*}}$ est ${\displaystyle k}$-uniforme si image de toute lettre de ${\displaystyle B}$ est un mot de longueur ${\displaystyle k}$.
• Un morphisme ${\displaystyle f:B^{*}\to B^{*}}$ est prolongeable en la lettre ${\displaystyle b\in B}$ ou ${\displaystyle b}$-prolongeable pour la lettre ${\displaystyle b\in B}$ si ${\displaystyle f(b)}$ commence par ${\displaystyle b}$.
• Une application ${\displaystyle \pi :B\rightarrow A}$ se prolonge en une fonction sur les mots finis ou infinis, encore notée ${\displaystyle \pi }$, en appliquant la fonction à chacune des lettres qui composent le mot.

Définition

Soit ${\displaystyle k\geq 2}$, soient ${\displaystyle B}$ un alphabet et ${\displaystyle b\in B}$ une lettre. Soit ${\displaystyle f:B^{*}\rightarrow B^{*}}$ un morphisme ${\displaystyle k}$-uniforme et ${\displaystyle b}$-prolongeable, c'est-à-dire que ${\displaystyle f(b)}$ commence par ${\displaystyle b}$. Alors, tout itéré ${\displaystyle f^{n}(b)}$ est préfixe de tous les ${\displaystyle f^{m}(b)}$ pour ${\displaystyle m>n}$. La suite ${\displaystyle (f^{n}(b))_{n\in \mathbb {N} }}$ converge vers un mot infini unique ${\displaystyle y}$ noté ${\displaystyle y=f^{\omega }(b)}$ défini par la propriété que tous les ${\displaystyle f^{n}(b)}$ en sont préfixes. Ce mot ${\displaystyle y}$ est par définition purement morphique.

Soit maintenant ${\displaystyle A}$ un alphabet et soit ${\displaystyle \pi :B\to A}$ une application. Elle est étendue en un morphisme lettre à lettre sur les mots infinis. La suite

${\displaystyle x=\pi (y)}$

est une suite morphique. C'est la deuxième définition des suites ${\displaystyle k}$-automatiques[6] :

Définition — Une suite ${\displaystyle k}$-automatique ${\displaystyle x}$ est un mot morphique, image par un morphisme lettre à lettre, du point fixe d'un morphisme ${\displaystyle k}$-uniforme prolongeable :

${\displaystyle x=\pi (f^{\omega }(b))}$.

Exemples

• La suite caractéristique des puissances de 2 est produite par le morphisme 2-uniforme sur l'alphabet ${\displaystyle B=\{a,0,1\}}$ défini par

${\displaystyle a\mapsto a1\ ,\quad 1\mapsto 10\ ,\quad 0\mapsto 00}$

qui engendre le mot infini

${\displaystyle a11010001\cdots }$,

suivi du morphisme qui envoie ${\displaystyle a}$ sur ${\displaystyle 0}$ et laisse ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle 1}$ inchangés, ce qui donne ${\displaystyle 011010001\cdots }$.

• La suite de Prouhet-Thue-Morse peut être définie par le morphisme 2-uniforme :

${\displaystyle 1\mapsto 10\ ,\quad 0\mapsto 01}$

qui engendre, à partir de 0, le mot infini ${\displaystyle 0110100110010110\cdots }$. Ce mot est purement morphique, et le morphisme ${\displaystyle \pi }$ de la définition est l’identité.

Construction du ${\displaystyle 2}$-noyau de la suite de Prouhet-Thue-Morse avec le triplet ${\displaystyle (k=2,i,j)}$ En rouge et vert, les deux suites du ${\displaystyle 2}$-noyau.

Soit ${\displaystyle u=(u_{n})_{n\geq 0}}$ une suite infinie. Le ${\displaystyle k}$-noyau de ${\displaystyle u}$ est l'ensemble des sous-suites

${\displaystyle N_{k}(u)=\{(u_{k^{i}n+j})_{n\geq 0}\mid i\geq 0,0\leq j<k^{i}\}}$.

Cette définition un peu compliquée s'explique bien pour ${\displaystyle k=2}$ : le ${\displaystyle 2}$-noyau est formé de la suite ${\displaystyle u}$, puis des 2 suites obtenues en prenant un terme sur deux dans ${\displaystyle u}$, puis des 4 suites obtenues en prenant un terme sur 4, etc.

La caractérisation, ou la troisième définition équivalente, est la suivante :

Exemple :

En prenant les termes de 2 en 2 dans la suite de Prouhet-Thue-Morse 0110100110010110. . ., on obtient les deux suites :

0-1-1-0-1-0-0-1-. . .

-1-0-0-1-0-1-1-0. . .

c'est-à-dire la suite elle-même et son opposée. Le 2-noyau est donc composé de ces deux suites, et ceci montre que la suite de Prouhet-Thue-Morse est automatique.

Les suites ${\displaystyle p}$-automatiques, lorsque ${\displaystyle p}$ est un nombre premier, ont une caractérisation par séries formelles. On note ${\displaystyle K(X)}$ le corps de fractions rationnelles, et ${\displaystyle K[[X]]}$ l'anneau des séries formelles en une variable ${\displaystyle X}$ et à coefficients dans ${\displaystyle K}$. Une série ${\displaystyle Y}$ est algébrique sur ${\displaystyle K(X)}$ s'il existe des polynômes ${\displaystyle P_{0}(X),P_{1}(X),\ldots ,P_{d}(X)}$ tels que

${\displaystyle P_{0}+P_{1}Y+P_{2}Y^{2}+\cdots +P_{d}Y^{d}=0}$.

On prend pour corps ${\displaystyle K}$ le corps ${\displaystyle {\rm {F}}_{p^{m}}}$ à ${\displaystyle p^{m}}$ éléments.

Exemples :

• La série génératrice de la suite caractéristique des puissances de 2 est :

${\displaystyle f(X)=X+X^{2}+X^{4}+X^{8}+\cdots =\sum _{i\geq 0}X^{2^{i}}}$.

On a

${\displaystyle f(X)=X+f(X^{2})}$.

Sur ${\displaystyle {\rm {F}}_{2}}$, on a ${\displaystyle f(X^{2})=f(X)^{2}}$, ce qui donne l'équation :

${\displaystyle f(X)^{2}+f(X)+X=0}$.

Ceci montre que ${\displaystyle f(X)}$ est algébrique sur ${\displaystyle {\rm {F}}_{2}}$. Donc la suite des puissances de 2 est ${\displaystyle 2}$-automatique.

• La série génératrice de la suite de Prouhet-Thue-Morse est :

${\displaystyle f(X)=0\times 1+1\times X+1\times X^{2}+0\times X^{3}\cdots =\sum _{i\geq 0}s(i)X^{i}}$

avec ${\displaystyle (s(n))_{n\geq 0}=0,1,1,0,1,0,0,1,\ldots }$[8]. On a :

${\displaystyle (1+X^{3})f(X)^{2}+(1+X^{2})f(X)+f(X)=0}$

sur ${\displaystyle F_{2}}$. Ceci montre que la suite de Prouhet-Thue-Morse est une suite ${\displaystyle 2}$-automatique [8]

Les suites k-automatiques admettent des caractérisations en termes de logique du premier ordre. Pour les suites ${\displaystyle k}$-automatiques, elle est due à Büchi[9] ; elle a été étendues aux suites de Pisot par Véronique Bruyère et Georges Hansel[10]. Une présentation est donnée dans le livre de Michel Rigo[11]. Une étude systématique est donnée par Hamoon Mousavi[12].

La propriété principale est le théorème de Cobham qui énonce que le fait d'être ${\displaystyle k}$-automatique dépend fortement de l'entier ${\displaystyle k}$. Deux entiers ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle \ell }$ sont dits multiplicativement dépendants s'il existe des entiers ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle m}$ tels que ${\displaystyle k^{n}=\ell ^{m}}$. Par exemple ${\displaystyle 4}$ et ${\displaystyle 8}$ sont multiplicativement dépendants parce que ${\displaystyle 4^{3}=8^{2}}$.

En complément de ce théorème démontré par Alan Cobham en 1969, il y a la proposition suivante :

Les suites automatiques sont stables pour un certain nombre de transformations.

• Si deux suites ne diffèrent que par un nombre fini de termes, et l'une est ${\displaystyle k}$-automatique, alors l'autre est également ${\displaystyle k}$-automatique.
• Si ${\displaystyle u=(u_{n})_{n\geq 0}}$ est une suite ${\displaystyle k}$-automatique sur un alphabet ${\displaystyle A}$, et si ${\displaystyle \pi :A\to B^{*}}$ est un morphisme uniforme, alors la suite ${\displaystyle \pi (u)}$ obtenue par concaténations des mots ${\displaystyle \pi (u_{n})}$ est ${\displaystyle k}$-automatique.
• Si ${\displaystyle u=(u_{n})_{n\geq 0}}$ est une suite ${\displaystyle k}$-automatique, alors la sous-suite ${\displaystyle (u_{an+b})_{n\geq 0}}$ est ${\displaystyle k}$-automatique pour tous entiers ${\displaystyle a,b\geq 0}$.

Les ensembles automatiques sont stables pour les opérations suivantes :

• union, intersection, complémentation
• addition c'est-à-dire l'opération ${\displaystyle R+S=\{r+s\mid r\in R,s\in S\}}$.
• multiplication par une constante positive, c'est-à-dire l'opération ${\displaystyle nT=\{nt\mid t\in T\}}$.
• l'opération d'extraction affine ${\displaystyle J_{a,b}(S)=\{x\mid ax+b\in S\}}$, où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des entiers naturels.

Le nombre ${\displaystyle c_{u}(n)}$ de facteurs de longueur ${\displaystyle n}$ d'une suite automatique ${\displaystyle u}$ croît au plus linéairement.

• (en) Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit, Automatic Sequences : theory, applications, generalizations, Cambridge, Cambridge University Press, 2003, 571 p. (ISBN 0-521-82332-3)
• Dennis A. Hejhal, Joel Friedman, Martin C. Gutzwiller et Andrew M. Odlyzko (éditeurs), Emerging applications of number theory, New York, Springer, coll. « The IMA volumes in mathematics and its applications » (n^o 109), 1999, xiii+689 p. (ISBN 0-387-98824-6, SUDOC 051980215)
• Alan Cobham, « Uniform tag sequences », Math. Systems Theory, vol. 6,‎ 1972, p. 164-192 (Math Reviews 0457011)
• Alan Cobham, « On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite automata », Mathematical Systems Theory, vol. 3, n^o 2,‎ 1969, p. 186–192 (DOI 10.1007/BF01746527, Math Reviews 0250789).

• Boris Adamczewski et Yann Bugeaud, « Transcendence and Diophantine approximation », dans Valérie Berthé et Michel Rigo (éditeurs), Combinatorics, automata and number theory, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 135), 2010 (ISBN 978-0-521-51597-9, lire en ligne), p. 410- 451
• Alan Cobham, « Uniform tag sequences », Mathematical Systems Theory, vol. 6, n^os 1-2,‎ 1972, p. 164–192 (DOI 10.1007/BF01706087, Math Reviews 0457011).
• (en) Samuel Eilenberg, Automata, Languages and Machines, Vol. A, New York, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics » (n^o 58), 1974, xvi+451 p. (ISBN 978-0-12-234001-7)
• Yining Hu et Guoniu Wei-Han, « On the automaticity of the Hankel determinants of a family of automatic sequences », Theoretical Computer Science, vol. 795,‎ 2019, p. 154–164 (ISSN 0304-3975, DOI 10.1016/j.tcs.2019.06.009, arXiv 1806.05864).