Stabilité EBSB

Elle est proposée en temps discret, mais les mêmes arguments s’appliquent en temps continu.

À l’entrée bornée ${\displaystyle x(n)=\operatorname {signe} (h(-n))}$ correspond la sortie ${\displaystyle y(n)\ }$ satisfaisant

${\displaystyle y(n)=h(n)*x(n)\ }$

où ${\displaystyle *}$ est le produit de convolution, c'est-à-dire :

${\displaystyle y(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h(k)x(n-k)}.}$

En particulier ${\displaystyle y(0)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h(k)x(-k)}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{|h(k)|}.}$

Ainsi ${\displaystyle \|h\|_{1}<\infty }$ puisque ${\displaystyle y(0)\ }$ est borné.

Considérons une entrée bornée, c'est-à-dire ${\displaystyle \|x\|_{\infty }<\infty }$, et supposons ${\displaystyle \|h\|_{1}<\infty }$. Alors la sortie ${\displaystyle y(n)\ }$ satisfait

${\displaystyle \left|y(n)\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h(n-k)x(k)}\right|\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h(n-k)\right|\left|x(k)\right|}}$ (par l'inégalité triangulaire)

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h(n-k)\right|\|x\|_{\infty }}=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h(n-k)\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}.}$

Ainsi ${\displaystyle \left|y(n)\right|}$ est également borné.

Soit un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction de transfert ${\displaystyle H(p)\ }$ est supposée être rationnelle. En notant ${\displaystyle p_{i}\ }$ les pôles (racines complexes du dénominateur) et ${\displaystyle \sigma \ }$ l’abscisse de convergence définie par ${\displaystyle \sigma =\max \operatorname {Re} (p_{i})\ }$, on montre que le système est stable EBSB si et seulement si ${\displaystyle \sigma <0\ }$.

Puisque ${\displaystyle H(p)\ }$ est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle ${\displaystyle h(t)\ }$,

${\displaystyle H(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-pt}h(t)dt}$

et le domaine de convergence est le demi-plan ${\displaystyle \operatorname {Re} (p)>\sigma \ }$.

Si le système est stable EBSB, alors ${\displaystyle h(t)\ }$ est dans ${\displaystyle L^{1}}$ et il y a convergence en ${\displaystyle p=0\ }$ puisque

${\displaystyle |H(0)|=\left|\int _{0}^{\infty }h(t)dt\right|\leq \int _{0}^{\infty }|h(t)|dt}$

qui, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent ${\displaystyle \sigma <0\ .}$

Supposons ${\displaystyle \sigma <0\ }$. Puisque, par l’hypothèse de rationalité, ${\displaystyle H(p)\ }$ est de la forme

${\displaystyle H(p)=\sum _{i}{\frac {c_{i}}{p-p_{i}}},}$

en supposant, pour simplifier, que les pôles de ${\displaystyle H(p)\ }$ sont simples. La transformée inverse de Laplace donne

${\displaystyle h(t)=\sum _{i}c_{i}e^{p_{i}t}}$

qui est dans ${\displaystyle L^{1}}$ et le système est stable EBSB.

Soit un système linéaire invariant et à temps discret dont la fonction de transfert ${\displaystyle H(z)\ }$ est supposée être rationnelle. En notant ${\displaystyle z_{i}\ }$ les pôles et ${\displaystyle \rho \ }$ le module de convergence défini comme le maximum des modules des pôles, on montre que le système est stable EBSB si et seulement si ${\displaystyle \rho <1\ }$.

Puisque ${\displaystyle H(z)\ }$ est la transformée en Z de la réponse impulsionnelle ${\displaystyle h(n)\ }$,

${\displaystyle H(z)=\sum _{k=0}^{\infty }h(k)z^{-k}}$

et le domaine de convergence est l’extérieur d’un cercle, soit ${\displaystyle |z|>\rho \ }$.

Si le système est stable EBSB, alors ${\displaystyle h(n)\ }$ est dans ${\displaystyle \ell ^{1}}$ et il y a convergence en ${\displaystyle z=1\ }$ puisque

${\displaystyle |H(1)|=\left|\sum _{k=0}^{\infty }h(k)\right|\leq \sum _{k=0}^{\infty }|h(k)|}$

qui, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent ${\displaystyle \rho <1\ .}$

Supposons ${\displaystyle \rho <1\ }$. Puisque, par l’hypothèse de rationalité, ${\displaystyle H(z)\ }$ est de la forme

${\displaystyle H(z)=\sum _{i}{\frac {d_{i}}{1-z_{i}z^{-1}}},}$

en supposant, pour simplifier, que les pôles de ${\displaystyle H(z)\ }$ sont simples. L’inverse de la transformée en z donne

${\displaystyle h(n)=\sum _{i}d_{i}z_{i}^{n}}$

qui est dans ${\displaystyle \ell ^{1}}$ et le système est stable EBSB.