Représentation X

En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation X ou réalisation-X est la représentation dans laquelle l'opérateur de position ${\hat {\mathbf {x} }}$ appliqué au vecteur propre de cette représentation s'écrit :

${\hat {\mathbf {x} }}\left|x\right\rangle =x\left|x\right\rangle$

Comme l'opérateur ${\hat {\mathbf {x} }}$ est hermitien, on peut montrer pour un vecteur d'état que :

${\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle =x\left|\psi \right\rangle$

Dans cette représentation, l'opérateur d'impulsion $\mathbf {{\hat {p}}_{x}}$ selon l'axe unique est tel que :

$\langle x|\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle =\langle x|-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\left|\psi \right\rangle$

Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :

$\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\left|\psi \right\rangle$

Il faut distinguer cette représentation de la représentation P dans laquelle l'opérateur d'impulsion s'écrit simplement $p_{x}$ .

Commutateur [X,P]

Le commutateur de ${\hat {\mathbf {x} }}$ et $\mathbf {{\hat {p}}_{x}}$ est défini par :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}$

On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle ={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle$

En réalisation X, cela s'écrit :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =-i\hbar x{\frac {\partial }{\partial x}}\left|\psi \right\rangle +i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}(x\left|\psi \right\rangle )$

La dérivée d'un produit $uv$ étant $(uv)'=u'v+uv'$ , cela donne :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =-i\hbar (x{\frac {\partial }{\partial x}}\left|\psi \right\rangle -({\frac {\partial }{\partial x}}x)\left|\psi \right\rangle -x{\frac {\partial }{\partial x}}\left|\psi \right\rangle )$

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =-i\hbar (-1)\left|\psi \right\rangle =i\hbar \left|\psi \right\rangle$

La valeur du commutateur de ${\hat {\mathbf {x} }}$ et $\mathbf {{\hat {p}}_{x}}$ est donc :

$[{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]=i\hbar$

Cette valeur, indépendante de la base, est liée au principe d'incertitude de Heisenberg.

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