Relation Amoroso–Robinson

On note ${\displaystyle p(x_{i})}$ le prix d'un bien et ${\displaystyle x_{i}}$ la quantité de ce bien. On remarque que n'étant pas en condition de concurrence pure et parfaite, le prix n'est pas une constante. On peut ainsi exprimer le revenu total ${\displaystyle R_{t}(x_{i})=x_{i}.p(x_{i})}$. On exprime ensuite le revenu marginal, qui est la dérivée du revenu total : ${\displaystyle R_{m}(x_{i})=p(x_{i})+x_{i}.p'(x_{i})}$. En factorisant dans le membre de droit, on obtient :

$${\displaystyle R_{m}(x_{i})=p(x_{i}).{\bigg (}1+{\dfrac {x_{i}.p'(x_{i})}{p(x_{i})}}{\bigg )}}$$

En notation leibnizienne, on a : ${\displaystyle {\dfrac {x_{i}.p'(x_{i})}{p(x_{i})}}=p'(x_{i}).{\dfrac {x_{i}}{p}}={\dfrac {dp}{dx_{i}}}.{\dfrac {x_{i}}{p}}}$

En exprimant ${\displaystyle x_{i}}$ en fonction de la demande que l'on note ${\displaystyle D_{i}}$, on obtient : ${\displaystyle {\dfrac {D_{i}.p'(D_{i})}{p(D_{i})}}={\dfrac {dp}{dD_{i}}}.{\dfrac {D_{i}}{p}}}$

On exprime désormais l'élasticité-prix ${\displaystyle \varepsilon _{x,p}}$ du prix ${\displaystyle p(x_{i})}$ de la demande ${\displaystyle D_{i}}$ : ${\displaystyle \varepsilon _{x},p={\dfrac {dD_{i}}{dp}}.{\dfrac {p}{D_{i}}}}$. On remarque alors que ${\displaystyle {\dfrac {D_{i}.p'(D_{i})}{p(D_{i})}}={\dfrac {1}{\varepsilon _{x},p}}}$

En vertu de la loi de la demande, l'élasticité ${\displaystyle \varepsilon _{x,p}<0}$, on adopte donc la notation en valeur absolue qui donne : ${\displaystyle {\dfrac {D_{i}.p'(D_{i})}{p(D_{i})}}=-{\dfrac {1}{|\varepsilon _{x},p|}}}$

Finalement, on a bien :

$${\displaystyle R_{m}(x_{i})=p(x_{i}).{\bigg (}1+{\dfrac {x_{i}.p'(x_{i})}{p(x_{i})}}{\bigg )}=p(x_{i}).\left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right)}$$

$${\displaystyle \Rightarrow R_{m}=p.\left(1-{\frac {1}{|\varepsilon _{x,p}|}}\right)}$$

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