Régulateur PID

Un correcteur est un algorithme de calcul qui délivre un signal de commande à partir de la différence entre la consigne et la mesure (l'erreur).

Le correcteur PID agit de trois manières :

• action proportionnelle : l'erreur est multipliée par un gain G ;
• action intégrale : l'erreur est intégrée et divisée par un gain Ti ;
• action dérivée : l'erreur est dérivée et multipliée par un gain Td.

Il existe plusieurs architectures possibles pour combiner les trois effets (série, parallèle ou mixte), on présente ici la plus classique : une structure PID parallèle qui agit sur l'Erreur.

Correcteur série PID parallèle.

Sur le schéma ci-dessus, la fonction de transfert exprimée dans le domaine de Laplace (où ${\displaystyle s}$ désigne la variable de Laplace, de dimension [T^⁻1], dans la suite de l'article cette notation anglo-saxonne est remplacée par ${\displaystyle p}$) du régulateur PID parallèle est la somme des trois actions[1] :

${\displaystyle C(p)=G+{\frac {1}{Ti}}\cdot {\frac {1}{p}}+Td\cdot p}$

En régulation des procédés, on préfère implanter la fonction de transfert du PID sous la forme mixte :

${\displaystyle C\left(p\right)=G\left(1+{\frac {1}{\tau _{i}\cdot p}}+\tau _{d}\cdot p\right)}$

où ${\displaystyle \tau _{i}}$ et ${\displaystyle \tau _{d}}$ sont des constantes de temps (différentes de ${\displaystyle T_{i}}$ et ${\displaystyle T_{d}}$ dans la formulation précédente) et ${\displaystyle G}$ est le gain de la partie proportionnelle.

Les différents paramètres à trouver sont ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \tau _{d}}$ et ${\displaystyle \tau _{i}}$ pour réguler la grandeur physique du procédé ayant pour fonction de transfert H(s). Il existe de nombreuses méthodes pour trouver ces paramètres. Cette recherche de paramètre est communément appelée synthèse.

La fonction de transfert du contrôleur PID présenté est idéale. En fait, elle est irréalisable car le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur. Dans la réalité, on filtre toujours l'action dérivée comme suit :

${\displaystyle \tau _{d}p\mapsto {\frac {\tau _{d}p}{1+{\frac {\tau _{d}}{N}}p}}}$ avec ${\displaystyle N>1}$ On obtient alors une nouvelle fonction de transfert réalisable pour notre régulateur. Le choix de ${\displaystyle N}$ résulte d'un compromis : pour ${\displaystyle N}$ très grand, l'action dérivée n'est pratiquement plus filtrée, ce qui se traduit par une grande sensibilité du signal de commande par rapport au bruit de mesure. Si l'on prend ${\displaystyle N}$ trop petit, l'effet de l'action dérivée devient quasiment inexistante. Une étude théorique permet de préciser que ${\displaystyle 3<N<10}$.

Le réglage d'un PID consiste à déterminer les coefficients ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \tau _{d}}$ et ${\displaystyle \tau _{i}}$ afin d'obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation. Les objectifs sont d'être robuste, rapide et précis. Il faut pour cela :

• dans le cas d'un fonctionnement en mode de régulation (consigne fixe) choisir des réglages permettant à la grandeur réglée de retourner dans un temps raisonnable à sa valeur de consigne ;
• dans le cas de fonctionnement de la boucle en mode d'asservissement (consigne variable), choisir des réglages permettant de limiter le ou les éventuels dépassements (overshoot) de la grandeur réglée ;
• la robustesse est sans doute le paramètre le plus important et délicat. On dit qu'un système est robuste si la régulation fonctionne toujours même si le modèle change un peu. Par exemple, les fonctions de transfert de certains procédés peuvent varier en fonction de la température ambiante ou de l'hygrométrie ambiante relativement à la loi de Pascal. Un régulateur doit être capable d'assurer sa tâche même avec des perturbations afin de s'adapter à des usages non prévus/testés (dérive de production, vieillissement mécanique, environnements extrêmes...) ;
• la rapidité du régulateur dépend du temps de montée et du temps d'établissement du régime stationnaire ;
• le critère de précision est basé sur l'erreur statique (ou l'écart de statisme).

La réponse type d'un procédé stable est la suivante :

Dans le cas des systèmes simples, les paramètres du PID influencent la réponse du système de la manière suivante :

• ${\displaystyle G}$ : lorsque ${\displaystyle G}$ augmente, le temps de montée (rise time) est plus court et l'erreur statique est réduite, mais il provoque un dépassement plus important.
• ${\displaystyle \tau _{i}}$ : lorsque ${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{i}}}}$ est présent l'erreur statique est annulée. Quand il augmente, la valeur finale est plus rapidement atteinte pour les systèmes présentant de grandes marges de stabilité. Le temps d'établissement en régime stationnaire s'allonge pour les autres systèmes qui vont davantage osciller. Le réglage de ce paramètre dépend donc du comportement dynamique du système et influe sur son amortissement et son temps de réponse.
• ${\displaystyle \tau _{d}}$ : lorsque ${\displaystyle \tau _{d}}$ augmente, le temps de montée diminue (la réponse du système ainsi corrigé est plus rapide)[2] et le dépassement diminue ce qui améliore la stabilité. Toutefois il n'influence pas l'erreur statique. Si ce paramètre est trop élevé dans un premier temps il stabilise le système avec des réactions violentes pouvant saturer le signal de commande sortant du correcteur, et dans un deuxième temps il amplifie de manière exagérée des perturbations brèves.

Pour ces trois paramètres, le réglage au-delà d'un seuil trop élevé a pour effet d'engendrer une oscillation du système de plus en plus importante menant à l'instabilité : un G trop important rend le système trop sensible, un ${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{i}}}}$trop important provoque une intégration trop rapide, un ${\displaystyle \tau _{d}}$ trop important accentue la sensibilité aux bruits de fréquence élevée. C'est pourquoi d'autres régulateurs dits à "avance de phase" ou "retard de phase" sont utilisés pour atteindre les performances désirées[3].

L'analyse du système avec un PID est simple mais sa conception peut être délicate, voire difficile, car il n'existe pas de méthode unique pour résoudre ce problème. Il faut trouver des compromis, le régulateur idéal n'existe pas. En général, on se fixe un cahier des charges à respecter sur la robustesse, le dépassement et le temps d'établissement du régime stationnaire.

Les méthodes de réglage les plus utilisées en théorie sont les méthodes de Ziegler-Nichols (en boucle ouverte et boucle fermée), la méthode de P. Naslin (polynômes normaux à amortissement réglable), la méthode du lieu de Nyquist inverse (utilise le diagramme de Nyquist). Le diagramme de Black permet d'en constater très visuellement les effets.

De manière plus pratique et rapide les professionnels utilisent soit l'identification par modèle de Broïda pour les systèmes stables ou le modèle intégrateur retardé pour les systèmes instables, soit la méthode par approches successives qui répond à une procédure rigoureuse : on règle d'abord l'action P seule pour avoir un dépassement de 10 à 15 % puis l'action dérivée de façon à « raboter » au mieux le dépassement précédent, enfin on ajuste si nécessaire l'action intégrale en se fixant un dépassement final compris entre 5 et 10 %.

Il existe aussi une méthode qui, en supposant connue la fonction de transfert ${\displaystyle H\left(p\right)}$ du système, permet de déterminer un régulateur PID robuste dans le sens où la marge de phase et la pulsation au gain unité (donc la marge de phase/retard) sont fixées à l'avance (lorsqu'une solution existe)[2]^,[4].

Dans certains cas, les performances d'un PID peuvent devenir insuffisantes, en raison par exemple de la présence d'un retard trop important ou d'un procédé à phase non minimale, posant des problèmes de stabilité. On fait alors appel à d'autres algorithmes de réglage (notamment : régulateur cascade, régulateur PIR, à modèle interne ou à retour d'état).

• Prouvost Patrick, Automatique contrôle et régulation : cours et exercices corrigés, Dunod, impr. 2010 (ISBN 9782100547777)
• Henri Bourlès, Systèmes linéaires : De la modélisation à la commande, Paris, Hermes Science Publishing, 2006, 510 p. (ISBN 2-7462-1300-1).
• Henri Bourlès et Hervé Guillard, Commande des systèmes. Performance et robustesse, Ellipses, 2012 (ISBN 2729875352).
• F. de Carfort, C Foulard (préf. R. Perret), Asservissements linéaires continus – Maîtrise d'E.E.A – C3-Automatique, Paris, Dunod université, 2^e édit., 1971, 164 p.