Régression quantile

Roger Koenker et George Bassett ont développé le modèle de régression quantile en 1978. Dans leur approche, ils font l'hypothèse que les quantiles conditionnels ont une forme linéaire[3]^,[4].

En 1986, James Powell généralise la régression quantile aux variables censurées[5]^,[6]^,[Note 1].

En économie, Moshe Buchinsky utilise les régressions quantiles pour étudier l'évolution des inégalités salariales aux États-Unis[7].

On définit la fonction quantile conditionnelle de la variable aléatoire y conditionnellement au vecteur de variables explicatives x pour le quantile τ comme

la plus petite valeur de y telle que la fonction de distribution de y conditionnellement à x soit au moins égale à τ.

Formellement, on adopte la notation suivante[8] :

${\displaystyle Q_{\tau }(y_{i}|x_{i})=\inf \left\{y:F_{y}(y|x_{i})\geqslant \tau \right\}}$

Si on se restreint au cas où les quantiles conditionnels sont des fonctions linéaires du vecteur de variables explicatives x, on définit[9] :

${\displaystyle \beta _{\tau }={\text{Argmin}}_{b}\mathbb {E} \left[\rho _{\tau }(y_{i}-x_{i}'b)\right]}$

avec

${\displaystyle \rho _{\tau }(u)=(\tau -\mathbb {I} (u\leqslant 0))u}$

[Note 2]

L'estimateur des paramètres de la régression quantile est alors obtenu en minimisant l'équivalent empirique de la fonction objectif[10] :

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{\tau }={\text{Argmin}}_{b}{\frac {1}{N}}\mathbb {\sum } _{i=1}^{N}\left[\rho _{\tau }(y_{i}-x_{i}'b)\right]}$