Règle d'élimination (logique)

Il y a deux règles d’élimination de la conjonction :

${\displaystyle {\frac {A\wedge B}{A}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\frac {A\wedge B}{B}}}$

qui s'écrivent sous forme de séquents :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash A\wedge B}{\Gamma \vdash A}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\frac {\Gamma \vdash A\wedge B}{\Gamma \vdash B}}}$

Ces règles sont justifiées par les implications valides suivantes :

${\displaystyle (A\land B)\Rightarrow A}$

et

${\displaystyle (A\land B)\Rightarrow B}$

Il y a une règle d'élimination de la disjonction :

${\displaystyle {\frac {{~ \atop A\vee B}~~~~~{{[A] \atop \vdots } \atop C}~~~~~{{[B] \atop \vdots } \atop C}}{C}}}$

qui s'écrit sous forme de séquent :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash A\vee B~~~~~~\Gamma ,A\vdash C~~~~~~\Gamma ,B\vdash C}{\Gamma \vdash C}}}$

Cette règle est justifiée par l'implication valide suivante :

${\displaystyle ((A\lor B)\land (A\Rightarrow C)\land (B\Rightarrow C))\Rightarrow C.}$

Le modus ponens est la règle de l'élimination de l'implication.

${\displaystyle {\frac {A\Rightarrow B~~~~~A}{B}}}$

et sa forme en séquents :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash A\Rightarrow B~~~~~~\Gamma \vdash A}{\Gamma \vdash B}}}$

Elle est justifiée par l'implication valide :

${\displaystyle ((A\Rightarrow B)\wedge A)\Rightarrow B.}$

La règle ex falso quodlibet est l'élimination du faux (⊥) :

${\displaystyle {\frac {\bot }{A}}}$

où ${\displaystyle A}$ est n'importe quelle proposition. On remarque que ⊥ est ici nullaire, c'est-à-dire une constante. Sa forme avec séquents est :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash \bot }{\Gamma \vdash A}}}$

Elle est justifiée par l'implication valide :

${\displaystyle \bot \Rightarrow A.}$

Sa forme avec séquents est :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash \neg A}{\Gamma ,A\vdash \bot }}}$

Elle est justifiée par l'implication valide :

${\displaystyle \neg A\Rightarrow (A\Rightarrow \bot ).}$