Quotient isopérimétrique

Le quotient isopérimétrique est une grandeur sans dimension permettant d'évaluer la rondeur ou la sphéricité d'une surface ou d'un solide. Il dépend de la forme de l'objet étudié et non de sa taille. Initialement défini dans le plan pour comparer deux surfaces ayant même périmètre, il est lié à tous les problèmes d'isopérimétrie.

La notion se généralise ensuite aux espaces supérieurs en conservant le même nom.

Dans les sources, on rencontre plusieurs expressions non équivalentes du quotient isopérimétrique.

Dans le plan

On considère une surface $S$ mesurable ayant une frontière rectifiable, c'est-à-dire qu'elle est d'aire finie et que son périmètre est de longueur finie.

Définition en référence au disque

Le quotient isopérimétrique de S peut être défini comme le rapport entre l'aire de la surface et l'aire de la surface maximale obtenue pour le même périmètre[1] . C'est alors toujours un nombre compris entre 0 et 1, qui atteint 1 quand la surface est un disque[2].

Si $A$ est l'aire de S et $p$ son périmètre, le quotient isopérimétrique q₁ est égal à[3] : $q_{1}=4\pi {\frac {A}{p^{2}}}$

Exemple : le quotient isopérimétrique d'un polygone régulier à n côtés est[3]: $q_{1}={\frac {\pi }{n\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$

Définition par comparaison de l'aire et du périmètre

Le quotient isopérimétrique peut d'autre part être défini comme le rapport entre le carré du périmètre et l'aire[4], $q_{2}={\frac {p^{2}}{A}}$ Avec cette nouvelle acception, le quotient isopérimétrique atteint un minimum de $4π$ pour le disque et peut prendre des valeurs infiniment grandes quand l'aire de S tend vers 0 et que son périmètre reste constant.

Dans l'espace

Pour un solide $K$ de volume $V$ et de surface $S$ , on retrouve les deux définitions

En référence à la boule[5]:

$q_{1}=36\pi {\frac {V^{2}}{S^{3}}}$

Par comparaison entre le volume et la surface[4]:

$q_{2}={\frac {S^{3}}{V^{2}}}$

Le quotient $q 1$ varie de 0 à 1 et atteint son maximum pour la boule. Le quotient $q 2$ varie de $36π$ à l'infini et atteint son minimum pour la boule.

Le quotient isopérimétrique d'un solide ne doit pas être confondu avec son rapport aire-volume.

Dimensions supérieures

Pour un compact K dans un espace euclidien de dimension n muni de la mesure de Lebesgue, le quotient isopérimétrique est souvent défini par l'égalité[6]: $q_{2}={\frac {({\text{Vol}}\,\partial K)^{n}}{({\text{Vol}}\,K)^{n-1}}}$ où $\partial K$ est la frontière de K.

Ce quotient atteint son minimum pour la boule.

On trouve parfois, une troisième définition du quotient isopérimétrique[7] : $q_{3}={\frac {{\text{Vol}}\,\partial K}{({\text{Vol}}\,K)^{\frac {n-1}{n}}}}$

Notes et références

«Isoperimetric quotient (IQ) number of a closed curve», The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (4)
Voir théorème isopérimétrique
Eric W. Weisstein, «Isoperimetric quotient», CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2002 p. 1546
Chakerian, G. D. “The Isoperimetric Quotient: Another Look at an Old Favorite.” The College Mathematics Journal, vol. 22, no. 4, 1991, pp. 313–315. [www.jstor.org/stable/2686234 JSTOR]
Kremer, Hermann and Weisstein, Eric W. «Isoperimetric Quotient From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Peter M. Gruber, Convex and discrete Geometry, Springer Science & Business Media, 2007, p. 203
Examen de Master 2 de Mathématiques de la modélisation, Université Pierre et Marie Curie, 2018

Voir aussi

Graphe expanseur pour une définition du nombre isopérimétrique dans le cadre de la théorie des graphes

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[1] «Isoperimetric quotient (IQ) number of a closed curve», The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (4)

[2] Voir théorème isopérimétrique

[Weisstein-3] Eric W. Weisstein, «Isoperimetric quotient», CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2002 p. 1546

[Chakerian-4] Chakerian, G. D. “The Isoperimetric Quotient: Another Look at an Old Favorite.” The College Mathematics Journal, vol. 22, no. 4, 1991, pp. 313–315. [www.jstor.org/stable/2686234 JSTOR]

[5] Kremer, Hermann and Weisstein, Eric W. «Isoperimetric Quotient From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

[6] Peter M. Gruber, Convex and discrete Geometry, Springer Science & Business Media, 2007, p. 203

[7] Examen de Master 2 de Mathématiques de la modélisation, Université Pierre et Marie Curie, 2018