Prostaphérèse

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )]}$

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]}$

${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )]}$

${\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )]}$

Ces formules sont parfois appelées formules de Simpson mais les deux premières ont été énoncées par Bürgi bien avant lui. Les deux autres s'en déduisent. (Quand on multiplie par 2 les deux membres de ces égalités, on obtient la formulation dite de Werner).

Soit à effectuer la multiplication : ${\displaystyle 0,173\times 0,4578}$
On peut choisir la première formule

• On détermine les arguments à l'aide d'une table trigonométrique : ${\displaystyle 0,173\approx \sin(10^{o})}$ et ${\displaystyle 0,4578\approx \sin(27^{o})}$
• Pour ${\displaystyle \alpha =10^{o}}$ et ${\displaystyle \beta =27^{o}}$, on calcule la somme ${\displaystyle \alpha +\beta =37^{o}}$ et la différence ${\displaystyle \alpha -\beta =-17^{o}}$
• On applique la première formule, obtenant : ${\displaystyle 0,173\times 0,4578\approx {\frac {1}{2}}[\cos(-17^{o})-\cos(37^{o})]}$
• La table trigonométrique donne ${\displaystyle \cos(-17^{o})\approx 0,9563}$ et ${\displaystyle \cos(37^{o})\approx 0,79864}$.
• On calcule la demi-différence des cosinus, obtenant ${\displaystyle 0,173\times 0,4578\approx 0,07884}$.

La valeur exacte du produit est 0,079 19.. ; le résultat n'est pas précis du fait que l'on a procédé à des arrondis intempestifs.

Soit à effectuer la multiplication : ${\displaystyle 5227\times 12,1877}$
On peut choisir la deuxième formule:

• La table trigonométrique donne les arguments : ${\displaystyle 0,5227\approx \cos(58,5^{o})}$ et ${\displaystyle 0,1218777\approx \cos(83^{o})}$
• Pour ${\displaystyle \alpha =58,5^{o}}$ et ${\displaystyle \beta =83^{o}}$, on a : ${\displaystyle \alpha +\beta =141,5^{o}}$ et ${\displaystyle \alpha -\beta =-24,5^{o}}$
• La deuxième formule donne :${\displaystyle 0,5227\times 0,121877\approx {\frac {1}{2}}[\cos(-24,5^{o})+\cos(141,5^{o})]}$
• La table trigonométrique donne ${\displaystyle \cos(-24,5^{o})\approx 0,91}$ et ${\displaystyle \cos(141,5^{o})\approx -0,7826}$.
• On calcule la demi-somme ou moyenne, obtenant ${\displaystyle 0,5227\times 0,121877\approx 0,0637}$
• Il reste à replacer la virgule :

${\displaystyle 5227\times 12,1877=0,5227\times 10^{4}\times 0,121877\times 10^{2}\approx 0.0637\times 10^{6}=63700}$
Le résultat exact était 63705,1079 : l'approximation est assez bonne puisqu'on a arrondi au dixième de degré.

Pour effectuer des divisions par prostaphérèse, on aura recours aux fonctions sécante ou cosécante ${\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos x}}\ }$ et ${\displaystyle \ \csc(x)={\frac {1}{\sin x}}}$
Exemple : Soit à diviser ${\displaystyle 2021}$ par ${\displaystyle 0,448}$
On pourra utiliser la deuxième formule :

• La table trigonométrique donne ${\displaystyle 0,2021\approx \cos(78,34^{o})}$ et ${\displaystyle 4,48\approx \sec(77,1^{o})}$, par conséquent ${\displaystyle 0,2021/4,48\approx {\frac {\cos(78,34^{o})}{\sec(77,1^{o})}}=\cos(78,34^{o})\times \cos(77,1^{o})}$
• On applique la deuxième formule avec ${\displaystyle \alpha =78,34^{o}}$ et ${\displaystyle \beta =77,1^{o}}$, soit ${\displaystyle \alpha +\beta =155,44^{o}}$ et ${\displaystyle \alpha -\beta =1,24^{o}}$, obtenant : ${\displaystyle 0,2021/4,48\approx {\frac {1}{2}}[\cos(1,24^{o})+\cos(155,44^{o})]}$
• La table trigonométrique donne ${\displaystyle \cos(1,24^{o})\approx 0,99977}$ et ${\displaystyle \cos(155,44^{o})\approx -0,90953}$
• On calcule la demi-somme, obtenant ${\displaystyle 0,2021/4,48\approx 0,04512}$
• Il reste à replacer la virgule :

${\displaystyle 2021/0,448=0,2021\times 10^{4}/(4,48\times 10^{-1})\approx 0,04512\times 10^{5}=4512}$
Le résultat exact était 4 511,16... : l'approximation est assez bonne puisqu'on a arrondi au dixième de degré.