Problème des 15 écolières

Le problème des 15 écolières a été formulé par Thomas Kirkman en 1850. Il s'énoncé comme suit:

« Fifteen young ladies in a school walk out three abreast for seven days in succession: it is required to arrange them daily, so that no two shall walk twice abreast. »
« Quinze écolières se promènent sept jours de suite par groupes de trois ; il est requis de les grouper par jour de telle sorte que deux écolières ne se promènent jamais deux fois ensemble. »
Publication originale du problème. À gauche la couverture du journal, à droite l'énoncé du problème : Query VI.

Historique

Le problème a été posé en 1850 par Kirkman dans le journal de mathématiques récréatives The Lady's and Gentleman's Diary[1] et des solutions ont été données par Arthur Cayley[2] et par Kirkman lui-même[3]. Il y a eu ultérieurement un différend entre Kirkman et le mathématicien James Joseph Sylvester, qui a affirmé avoir posé lui aussi le problème. La devinette est apparue dans divers livres de mathématiques récréatives au tourant du XXe siècle par Lucas[4], Rouse Ball[5], Ahrens[6] et Dudeney[7].

Solution

Si on numérote les écolières de 0 à 14, l'arrangement suivant est une solution[8] :

Dim Lun Mar Mer Jeu Ven Sam
 0,  5, 10  0,  1,  4  1,  2,  5  4,  5,  8  2,  4, 10  4,  6, 12 10, 12,  3
 1,  6, 11  2,  3,  6  3,  4,  7  6,  7, 10  3,  5, 11  5,  7, 13 11, 13,  4
 2,  7, 12  7,  8, 11  8,  9, 12 11, 12,  0  6,  8, 14  8, 10,  1 14,  1,  7
 3,  8, 13  9, 10, 13 10, 11, 14 13, 14,  2  7,  9,  0  9, 11,  2  0,  2,  8
 4,  9, 14 12, 14,  5 13,  0,  6  1,  3,  9 12, 13,  1 14,  0,  3  5,  6,  9

Le problème est un cas particulier des systèmes de Steiner S (t, k, n), un système de n éléments avec une famille en sous-ensembles de k éléments k (les blocs), de sorte que chaque sous-ensemble de t d'éléments est contenu dans exactement un bloc (un tel système est aussi appelé un appelé plan en blocs de paramètre t-(n, k, 1)). Dans le problème des écolières avec n écolières , on a un système triple Steiner S (2,3, n). Dans le cas de n = 15, il existe en tout sept possibilités de répartir les écolières selon les conditions. Celles-ci ont été publiées en 1862/1863 par Wesley Woolhouse dans le même magazine dans lequel Kirkman avait posé le problème[9],[10],[11]. Deux de ces solutions peuvent être visualisée comme relaions entre un tétraèdre et ses sommets, arêtes et faces[12]

Extensions

La solution générale de tels problèmes s'est avérée plus difficile qu'on ne pouvait le penser à l'origine. Des preuves de l'existence d'une solution dans le cas général ont été fournies par Richard M. Wilson et Dwijendra Kumar Ray-Chaudhuri en 1968 [13]; en 2018 une preuve encore plus générale de l'existence de plans de blocs admissibles a été donnée par Peter Keevash[14]. Il n'existe pas de solutions pour tout entier n et pour chaque combinaison de paramètres, certaines conditions naturelles de divisibilité doivent être remplies, par exemple n doit être divisible par 3. Cependant, si ces conditions sont remplies, Wilson a prouvé l'existence d'une solution. Le nombre de solutions augmente exponentiellement avec n. Avec 19 écolières, il y a déjà plus de onze milliards de possibilités pour les diviser en groupes de trois de sorte que chaque se promène exactement une fois dans un groupe de trois en présence de tous les autres.

Le problème des écolières de Kirkman a été le début du développement de la théorie des plans de blocs et du design combinatoire.

Le problème d'Oberwolfach (en) de décomposition d'un graphe complet en des copies sans arêtes communes d'un graphee 2-régulier est aussi une généralisation du problème des écolières : le problème de Kirkman est le cas particulier du problème d'Oberwolfach où les graphes 2-réguliers consistent en cinq triangles disjoints[15].

Notes et références
  1. « Query VI », The Lady’s and Gentleman’s Diary for the year 1850,‎ , p. 48.
  2. Arthur Cayley, « On the triadic arrangements of seven and fifteen things », The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine, vol. 37, no 247,‎ , p. 50–53 (DOI 10.1080/14786445008646550).
  3. Kirkman 1850.
  4. Lucas 1883, p. 183–188
  5. Rouse Ball 1892
  6. Ahrens 1901
  7. Dudeney 1917
  8. Ball et Coxeter 1987, p. 287−289.
  9. Wesley Woolhouse, « On triadic combinations of 15 symbols », Lady’s and Gentleman’s Diary,‎ , p. 84–88.
  10. Wesley Woolhouse, « On triadic combinations », Lady’s and Gentleman’s Diary,‎ , p. 79–90.
  11. F. W. Cole, « Kirkman parades », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 28, no 9,‎ , p. 435–437 (DOI 10.1090/S0002-9904-1922-03599-9).
  12. Giovanni Falcone et Marco Pavone, « Kirkman's Tetrahedron and the Fifteen Schoolgirl Problem », American Mathematical Monthly, vol. 118, no 10,‎ , p. 887–900 (DOI 10.4169/amer.math.monthly.118.10.887).
  13. Ray-Chaudhuri et Wilson 1968.
  14. Peter Keevash Peter, « Counting designs », J. Eur. Math. Soc., vol. 20,‎ , p. 903-927 (DOI 10.4171/JEMS/779).
  15. Bryant et Danziger 2011.

Bibliographie
réimpression H.E. Dudeney, Amusements in Mathematics, Dover, coll. « Dover Recreational Math », , 258 p. (ISBN 978-0-486-20473-4, Amusements in Mathematics sur Google Livres)
  • Ronald L. Graham, Martin Grötschel et László Lovász, Handbook of Combinatorics, Volume 2, The MIT Press, , 2198 p. (ISBN 0-262-07171-1)
  • Alan Hartman, « Kirkman's trombone player problem », Ars Combinatoria, vol. 10,‎ , p. 19–26
  • Jiaxi Lu, Collected Works of Lu Jiaxi on Combinatorial Designs, Huhhot, Inner Mongolia People's Press,
  • Thomas P. Kirkman, « On a Problem in Combinations », The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Macmillan, Barclay, and Macmillan, vol. II,‎ , p. 191–204 (lire en ligne)
  • Thomas P. Kirkman, « Note on an unanswered prize question », The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Macmillan, Barclay and Macmillan, vol. 5,‎ , p. 255–262 (lire en ligne)
  • É. Lucas, Récréations Mathématiques, vol. 2, Paris, Gauthier-Villars, , 183–188 p. (Récréations mathématiques, 2 sur Google Livres)
  • D. K. Ray-Chaudhuri et R. M. Wilson, « Solution of Kirkman's schoolgirl problem », Combinatorics, University of California, Los Angeles, 1968, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, vol. XIX,‎ , p. 187–203 (ISBN 978-0-8218-1419-2, DOI 10.1090/pspum/019/9959)
  • W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, . 
réimpression (en) W. W. Rouse Ball et H.S.M. Coxeter, Mathematical Recreations and Essays, New York, Dover, , 13e éd. (1re éd. 1974), 287–289 p. (ISBN 0-486-25357-0, Mathematical Recreations and Essays sur Google Livres)

Liens externes
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