Problème de Josèphe

Des soldats juifs, cernés par des soldats romains, décident de former un cercle. Un premier soldat est choisi au hasard et est exécuté, le troisième à partir de sa gauche (ou droite) est ensuite exécuté. Tant qu'il y a des soldats, la sélection continue. Le but est de trouver à quel endroit doit se tenir un soldat pour être le dernier. Josèphe, peu enthousiaste à l'idée de mourir, parvint à trouver l'endroit où se tenir. Quel est-il ?

Ce problème de permutations peut être complexifié, par exemple en faisant varier le nombre de soldats à « sauter », en demandant une solution générale pour un nombre fixe de soldats ou en demandant un certain nombre de survivants[1].

La solution proposée est donnée pour un soldat tué sur deux (k=2). Une solution pour le cas général est également donnée. Les deux s'effectuent de façon récursive.

Soit f(n) qui donne la position du survivant lorsqu'il y a n personnes (et k=2).

Lors du premier tour complet, tous les soldats aux positions paires sont exécutés. Au deuxième tour, le nouveau 2^e est exécuté, puis le nouveau 4^e, etc.

Si le nombre initial de personnes est pair, alors le soldat à la position x au 2^e tour est à la position 2x – 1 au 1^er tour (peu importe la valeur de x). Donc, la personne à la position ${\displaystyle f(n)}$ était auparavant à la position 2f(n) – 1 . Cela nous permet de trouver la 1^re formule de récurrence :

${\displaystyle f(2n)=2f(n)-1\,}$.

Si le nombre initial de soldats est impair, il vaut mieux voir le soldat à la position 1 comme exécuté à la fin du 1^er tour. Pendant le 2^e tour, le soldat à la 2^e position est exécuté, puis le 4^e, etc. Dans ce cas, le soldat à la position x était auparavant à la position 2x + 1. Cela nous permet de trouver la 2^e formule de récurrence :

${\displaystyle f(2n+1)=2f(n)+1\,}$.

Les valeurs tabulées de n et f(n) font apparaître un schéma :

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
${\displaystyle f(n)}$	1	1	3	1	3	5	7	1	3	5	7	9	11	13	15	1

f(n) est une série de valeurs impaires croissantes qui recommence à 1 pour chaque puissance de 2.

Si nous choisissons m et l de façon que n = 2^m + l et 0 ≤ l < 2^m, alors f(n) = 2l+1. Les valeurs de la table respectent cette équation. Également, après l exécutés, il ne reste que 2^m soldats et nous allons au 2l+1^e soldat. Il est le survivant. Donc, f(n) = 2l+1.

Pour le cas général, on peut faire appel à la programmation dynamique. Cette approche donne la formule de récurrence :

${\displaystyle f(n,k)=(f(n-1,k)+k){\bmod {n}}}$ avec ${\displaystyle f(1,k)=0}$ en numérotant les positions de 0 à n–1.

Elle apparaît lorsque nous observons comment le nombre de survivants change en passant de n–1 à n. Elle a un temps d'exécution asymptotique ${\displaystyle O(n)\,}$, mais pour de petites valeurs de k et de grandes valeurs de n, il existe une autre approche. Cette deuxième a aussi recours aux principes de la programmation dynamique, mais a un temps d'exécution asymptotique de ${\displaystyle O(k\log n)\,}$. Elle s'appuie sur l'idée de tuer le k^e, 2k^e..., ${\displaystyle \lfloor n/k\rfloor }$^e soldat d'un seul coup, puis de changer la numérotation.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Josephus problem » (voir la liste des auteurs).