Plus grand commun diviseur de nombres entiers

En considérant que tout nombre entier est un diviseur de zéro (car 0 × c = 0 quel que soit c) il vient que, pour tout entier a > 0, PGCD(a, 0) = PGCD(0, a) = a.

La définition usuelle ne permet pas de définir PGCD(0, 0) puisqu'il n'existe pas de plus grand diviseur de 0. On pose, par convention, PGCD(0, 0) = 0. Cependant, si l'on envisage une autre façon d'être plus grand (a est plus grand que b quand a est un multiple de b), cette convention est cohérente avec la définition. C'est cette nouvelle approche qui est envisagée dans la définition générale du PGCD.

Le PGCD de deux nombres entiers positifs a et b est lié avec leur PPCM (le plus petit de leurs multiples communs), par la relation

ab = PGCD(a, b)×PPCM(a, b).

Pour trois entiers relatifs non nuls a, b, c :

• pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = |ab|
• ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (a,\operatorname {ppcm} (b,c))=\operatorname {ppcm} (\operatorname {pgcd} (a,b),\operatorname {pgcd} (a,c))}$
• ${\displaystyle \operatorname {ppcm} (a,\operatorname {pgcd} (b,c))=\operatorname {pgcd} (\operatorname {ppcm} (a,b),\operatorname {ppcm} (a,c))}$

${\displaystyle \operatorname {pgcd} (a,b,c)=\operatorname {pgcd} (\operatorname {pgcd} (a,b),c)=\operatorname {pgcd} (a,\operatorname {pgcd} (b,c))}$. On peut étendre à un nombre arbitraire d'éléments.

Clairement, tout diviseur du PGCD de deux nombres est aussi un diviseur commun de ces deux nombres. La réciproque est vraie : les diviseurs communs de deux nombres entiers sont exactement les diviseurs de leur PGCD. Par exemple, si le PGCD de deux nombres entiers a et b est 6, les diviseurs communs à a et b seront ceux de 6, soit : 1, 2, 3, 6 et leurs opposés.

La réciproque est en partie vraie : le seul nombre positif D qui vérifie les deux propriétés :

D divise a et b ;

tout entier qui divise a et b divise aussi D ;

est le PGCD de a et b.

Ces deux phrases sont parfois prises comme définition du PGCD, ce qui permet d'étendre à d'autres ensembles que celui des nombres entiers (voir l'article PGCD). Mais si on ôte l'adjectif positif, un autre nombre entier vérifie cette propriété : l'opposé du PGCD de a et b. Par exemple, deux nombres D vérifient

D divise 30 et 18 ;

tout entier qui divise 30 et 18 divise aussi D ;

sont 6 et -6.

Ceci montre que, si b est un diviseur de a, alors le PGCD de a et b est b.

Le PGCD est en partie compatible avec la multiplication :

pour tous nombres entiers non nuls a, b et k, PGCD(ka, kb) = k PGCD(a, b).

Mais il ne l'est pas avec l'addition. Par exemple, PGCD(9, 12) = 3 mais, en ajoutant 2, PGCD(11, 14) = 1, alors qu'en multipliant par 3 on obtient PGCD(27, 36) = 9.

Cependant, il est possible de remplacer l'un de deux nombres a ou b par a + b sans changer le PGCD. Plus généralement, on peut ajouter ou retrancher à l'un des deux un multiple de l'autre. Plus formellement :

Cette propriété justifie l'algorithme d'Euclide, une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres (voir plus bas).

Par contre, une combinaison linéaire quelconque de a et b (c'est-à-dire un nombre de la forme au + bv, où u et v sont des entiers) n'est pas forcément égale à PGCD(a, b), mais en est un multiple. Et, réciproquement, un nombre entier c peut s'écrire sous la forme au + bv (u et v entiers relatifs) si et seulement si c est un multiple de PGCD(a, b).

Des nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsqu'ils n'ont « rien en commun » du point de vue de la divisibilité, autrement dit, leur PGCD est égal à 1.

Si deux nombres entiers a et b ont pour PGCD le nombre d, alors les entiers a/d et b/d sont premiers entre eux[4].

Une erreur classique consiste à croire que, si un nombre entier c divise un produit d'entier ab, alors il divise a ou b. Il n'en est rien, comme le montre l'exemple de 6, qui divise 9×8 = 72, mais ne divise ni 9 ni 8. Mais cela devient vrai si on ajoute l'hypothèse que c est premier avec l'un des deux nombres a ou b. Ce résultat est connu sous le nom de Lemme de Gauss et s'énonce ainsi :

Tout entier n supérieur ou égal à 2 s'écrit de manière unique à l'ordre près des facteurs et au signe près comme un produit fini de nombres premiers. Le nombre de fois que l'entier premier p apparait dans cette écriture s'appelle la valuation p-adique de n, notée v_p(n). Un entier non nul m divise n si et seulement si pour tout p, v_p(m) ≤ v_p(n).

De fait, le pgcd d'une famille (a_i) est donné par :

${\displaystyle \mathrm {pgcd} (a_{i})=\prod _{p}p^{\min v_{p}(a_{i})}}$

où le produit porte sur l'ensemble des nombres premiers (presque tous les facteurs du produit, hormis une quantité finie, sont égaux à 1).

Tout diviseur commun à une famille d'entiers non tous nuls divise leur pgcd. Ce constat résulte immédiatement de l'écriture ci-dessus en produit de nombres premiers mais peut aussi se déduire de l'algorithme d'Euclide ou ses variantes :

Toute suite de Lucas x_n = U_n(P, Q) associée à des paramètres P, Q premiers entre eux est à divisibilité forte, c.-à-d. : ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (x_{m},x_{n})=x_{\operatorname {pgcd} (m,n)}}$ C'est le cas, par exemple, de :

• la suite de Fibonacci U_n(1, –1) (cf. « propriété 6 » de la suite de Fibonacci) ;
• la suite U_n(b + 1, b) = (bⁿ – 1)/(b – 1) des répunits en base b (pour tout entier b > 1) donc ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (b^{m}-1,b^{n}-1)=b^{\operatorname {pgcd} (m,n)}-1}$.

Une fraction irréductible est une fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont les plus proches possibles de 1. Cela revient à dire que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. La fraction irréductible égale à une fraction a/b donnée est celle dont le numérateur est a/d et le dénominateur b/d, où d = PGCD(a, b).

Certaines équations diophantiennes (c'est-à-dire des équations dont les paramètres et les solutions cherchées sont des nombres entiers) se résolvent par une division par un PGCD afin de se ramener à une équation équivalente mettant en jeu des nombres premiers entre eux.

Ainsi l'équation diophantienne ax + by = c d'inconnues x et y admet une infinité de solutions si et seulement si c est un multiple du PGCD de a et b. Lorsque c n'est pas un multiple du PGCD de a et b, elle n'admet aucune solution entière. Ces résultats sont une conséquence du théorème de Bachet-Bézout. La méthode classique de résolution d'une telle équation consiste à diviser l'équation par le PGCD de a et b, puis, en s'appuyant sur le théorème de Gauss, résoudre la nouvelle équation obtenue, de la forme a'x + b'y = c', où a' et b' sont premiers entre eux.

Une autre équation diophantienne classique est la recherche des triplets pythagoriciens. Un triplet pythagoricien est la donnée de trois nombres entiers x, y et z qui vérifient la relation de Pythagore : x² + y² = z². Cela revient à chercher tous les triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers. L'étude de cette équation se ramène à la recherche des nombres x, y et z premiers entre eux : si x, y et z sont des solutions de l'équation et que d est leur PGCD, alors x/d, y/d et z/d sont aussi des solutions de l'équation.

Il n'est pas possible de déterminer a priori le nombre de diviseurs d'un nombre quelconque. Le système de codage RSA s'appuie sur la très grande difficulté qu'il y a, même avec un ordinateur très puissant, à trouver les diviseurs de certains nombres.

Cette méthode est particulièrement adaptée pour les petits nombres ou les nombres qui ont beaucoup de petits diviseurs (comme 2, 3, 5, 11). En prenant les nombres entiers dans l'ordre, on teste pour chacun s'ils sont diviseurs communs à a et b. C'est-à-dire que l'on trouve un nombre k tel que a = ka′ et b = kb′, alors il suffit de calculer le PGCD de a′ et b′ car on a :

${\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(a,b\right)=\mathrm {pgcd} \left(ka^{\prime },kb^{\prime }\right)=k~\mathrm {pgcd} \left(a^{\prime },b^{\prime }\right).}$

Exemple : pgcd(60,84). On voit que 60 et 84 sont multiples de 4 donc

${\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(60,84\right)=4\times \mathrm {pgcd} \left(15,21\right)}$.

Ensuite, comme 15 et 21 sont multiples de 3 on a

${\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(15,21\right)=3\times \mathrm {pgcd} \left(5,7\right)}$.

Or, ${\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(5,7\right)=1.}$ Donc, ${\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(60,84\right)=4\times 3=12}$.

Animation de la méthode des soustractions successives.

Le PGCD de deux nombres a et b est aussi celui de a et de b - a. Ceci justifie la méthode des soustractions successives.

Cette méthode est particulièrement adaptée pour les nombres grands mais relativement proches. Supposons que a soit plus grand que b, on a :

${\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(a,b\right)=\mathrm {pgcd} \left(a-b,b\right)}$.

En effet, pour tout diviseur d de b :

• si a est multiple de d alors a – b également ;
• réciproquement, si d divise a – b, il divise également (a – b) + b = a.

Algorithme d'Euclide.

L'algorithme d'Euclide utilise la division euclidienne. Étant donnés deux entiers a et b avec b > 0, la division euclidienne de a par b est la recherche des deux nombres q et r tels que :

1. a = bq + r ;
2. 0 ≤ r < b.

Le nombre r est appelé le reste de cette division.

L'algorithme d'Euclide s'appuie également sur deux propriétés du PGCD :

• le PGCD de a et b est égal au PGCD de b et r ;
• si b divise a, alors le PGCD de a et b est b.

Pour déterminer le PGCD des deux nombres a et b, l'algorithme effectue la division euclidienne de a par b (on trouve alors un reste r₁) puis, si r₁ ≠ 0, la division euclidienne de b par r₁ (on note r₂ le reste trouvé), puis, si r₂ ≠ 0, celle de r₁ par r₂, et ainsi de suite. La partie 2. de la définition de la division euclidienne assure que la suite r₁, r₂, … est strictement décroissante donc finit par un reste nul. Le PGCD de a et b est le reste précédent.

L'algorithme du PGCD binaire est une variante de l'algorithme d'Euclide qui manipule la représentation binaire des nombres.

Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers. Et nous avons la relation, pour tout nombre premier p,

${\displaystyle v_{p}({\text{pgcd}}(a,b))=\min(v_{p}(a),v_{p}(b))}$,

où ${\displaystyle v_{p}}$ est la valuation p-adique.

La première étape de cette méthode consiste à décomposer a et b en produits de nombres premiers. Il est alors très facile de trouver le PGCD.

Si ${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}\times p_{2}^{\alpha _{2}}\times \cdots \times p_{k}^{\alpha _{k}}}$ et ${\displaystyle b=p_{1}^{\beta _{1}}\times p_{2}^{\beta _{2}}\times \cdots \times p_{k}^{\beta _{k}}}$ où tous les exposants vérifient ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ et ${\displaystyle \beta _{i}\geq 0}$ alors

${\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(a,b\right)=p_{1}^{\min \left(\alpha _{1},\beta _{1}\right)}\times p_{2}^{\min \left(\alpha _{2},\beta _{2}\right)}\times \cdots \times p_{k}^{\min \left(\alpha _{k},\beta _{k}\right)}}$

Connaissant les décompositions en facteurs premiers de deux nombres entiers a et b, la décomposition en facteurs premiers de leur PGCD est constituée des mêmes facteurs que ceux de a et b, en prenant pour chaque facteur l'exposant minimal qui apparaît à la fois dans a et b : le plus petit exposant commun à a et b.