Parallélogramme

En géométrie purement affine, un quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme (au sens défini en introduction) si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :

• les vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {DC}}}$ sont égaux ;
• les vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ sont égaux.

Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC)[2].

En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :

• le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
• il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
• ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
• c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.

• Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
• Dans tout parallélogramme ABCD, on a l'identité du parallélogramme : AC² + BD² = 2(AB² + BC²).

L'aire d'un parallélogramme est égale à celle du rectangle de mêmes base et hauteur.

Soient ${\displaystyle b}$ la longueur d'un côté du parallélogramme et ${\displaystyle h}$ la longueur de la hauteur associée. L'aire ${\displaystyle A}$ du parallélogramme vaut :

${\displaystyle A=b\times h.}$

L'aire d'un parallélogramme est aussi donnée par un déterminant.

Un antiparallélogramme.

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.

(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).

Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur (voir supra) mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :

• on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
• deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme ;

La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.

• on appelle vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

On retrouve alors qu'un quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme si et seulement si ${\textstyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}}$.

• Aire d'un polygone
• Parallélépipède
• Paralléloèdre (en)
• Parallélogone (en)
• Théorème de Varignon

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