Octogone

Pour un octogone régulier de côté a :

• l'angle interne vaut 3π/4 rad, soit 135° ;
• le rayon du cercle circonscrit est${\displaystyle R={\tfrac {a}{2\sin \left({\tfrac {\pi }{8}}{\text{ (rad)}}\right)}}={\tfrac {a}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\simeq 1{,}3066~a~;}$
• le rayon du cercle inscrit et donc la longueur de l'apothème est${\displaystyle r={\tfrac {a}{2}}\cot {\tfrac {\pi }{8}}={\tfrac {a}{2}}(1+{\sqrt {2}})\simeq 1{,}2071~a}$(cot est ici la fonction cotangente) ;
• le périmètre est égal à 8a ;
• l'aire est égale à${\displaystyle 2a^{2}\cot {\tfrac {\pi }{8}}=2(1+{\sqrt {2}})~a^{2}\simeq 4{,}82843~a^{2}.}$Elle vaut également${\displaystyle 2R^{2}{\sqrt {2}}=8r^{2}{({\sqrt {2}}-1)}.}$

Construction d'un octogone régulier à la règle et au compas.

D'après le théorème de Gauss-Wantzel et puisque 8 est une puissance de 2, l'octogone régulier est constructible à la règle et au compas. La construction suivante est possible :

• 1 : tracer une droite.
• 2 : tracer un cercle dont le centre est situé sur la droite.
• 3 : tracer un arc de cercle dont le centre est situé à l'intersection de la droite et du cercle précédent, de même rayon que celui-ci.
• 4 : tracer une droite passant par les deux points où les cercles se coupent.
• 5 : tracer un arc de cercle ayant pour centre l'intersection des deux droites et passant par le centre du premier cercle.
• 6 : tracer une droite passant par l'intersection de la dernière droite et du dernier cercle, et par le centre du cercle tracé en 2.
• 7 : l'intersection avec le cercle donne la distance à reporter pour chaque côté de l'octogone
• 8 à 10 : reporter les côtés.
• 11 à 18 : tracer l'octogone.

Ou plus simplement :

• Tracer un carré, tracer les diagonales.
• Reporter la demi-diagonale sur les côtés du carré à partir de chaque angle.
• Tracer l'octogone en coupant les coins du carré.

• Table de lignes trigonométriques exactes
• Octogone de Montmorillon : chapelle romane
• Panneau stop, panneau de signalisation octogonal

• (en) Eric W. Weisstein, « Octagon », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles — Pi/8 », sur MathWorld

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