Nombre de Giuga

En mathématiques, un nombre de Giuga est[1] un entier naturel $n$ composé qui satisfait à la congruence

\sum _{j=1}^{j=n-1}j^{n-1}\equiv -1{\pmod {n}}.

D'après le petit théorème de Fermat les nombres premiers satisfont à la congruence. Giuga conjectura en 1950 que l'ensemble des nombres composés satisfaisant à la congruence est vide, c'est la conjecture d'Agoh-Giuga. Les nombres de Giuga sont des nombres de Carmichael (donc sans carré).

Caractérisation des nombres de Giuga

Un nombre $n$ est un nombre de Giuga si et seulement si[1]

il est composé
$p^{2}(p-1)|n-p$ pour tout facteur premier $p$ de $n$ .

Majoration de la fonction de comptage des nombres de Giuga

La fonction $G$ qui compte le nombre de nombres de Giuga inférieurs à $x$ a été étudiée et Tipu[2] a montré que $G(x)=O(x^{1/2}\ln x)$ .

Cette majoration a été améliorée par Luca, Pomerance et Shparlinski[1] :

G(x)=O\left({\frac {x^{1/2}}{\ln ^{2}x}}\right).

Nombres faiblement de Giuga

Certains auteurs[3]^,[4] appellent « nombres de Giuga » ce que Luca, Pomerance et Shparlinski[1] préfèrent nommer weak Giuga numbers. Ce sont les entiers composés vérifiant la propriété plus faible : p² | n – p pour tout facteur premier p de n. Contrairement aux précédents, on en connaît des exemples : suite A007850 de l'OEIS. Ces nombres sont exactement les nombres composés solutions de l'équation n' = an + 1 avec (a entier naturel) où n' désigne la dérivée arithmétique[5].

Références

(en) Florian Luca, Carl Pomerance et Igor Shparlinski, « On Giuga Numbers », International Journal of Modern Mathematics, vol. 4, n^o 1,‎ 2009, p. 13–18 (lire en ligne)
(en) Vicentiu Tipu, « A note on Giuga's conjecture », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 50,‎ 2007, p. 158-160.
(en) Eric W. Weisstein, « Giuga number », sur MathWorld.
(en) David Borwein, Jonathan Borwein, Peter Borwein et Roland Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans American Mathematical Monthly 103 (1996), 40-50 [lire en ligne].
« 1103.2298 », texte en accès libre, sur arXiv.

Arithmétique et théorie des nombres

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[LuPoSh-1] (en) Florian Luca, Carl Pomerance et Igor Shparlinski, « On Giuga Numbers », International Journal of Modern Mathematics, vol. 4, n^o 1,‎ 2009, p. 13–18 (lire en ligne)

[2] (en) Vicentiu Tipu, « A note on Giuga's conjecture », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 50,‎ 2007, p. 158-160.

[3] (en) Eric W. Weisstein, « Giuga number », sur MathWorld.

[4] (en) David Borwein, Jonathan Borwein, Peter Borwein et Roland Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans American Mathematical Monthly 103 (1996), 40-50 [lire en ligne].

[5] « 1103.2298 », texte en accès libre, sur arXiv.