Multifractale

La géométrie multifractale est une extension de la géométrie fractale aux mesures mathématiques. Par extension, les mesures multifractales respectent la propriété d'invariance d'échelle. Le passage d'un ensemble de points à une mesure induit une complexification des comportements scalants. Dans une fractale usuelle, un seul comportement scalant régit sa forme.

Un étrange attracteur composant une multifractale.

Avec une mesure multifractale, plutôt que d'avoir un unique comportement scalant, on observe une multitude de comportements scalants entremêlés. Pour décrire cette pluralité de comportements scalant, une unique dimension fractale est insuffisante et les chercheurs ont recours à des outils plus sophistiqués. Une première approche consiste à utiliser des dimensions fractales généralisées. Une deuxième approche repose sur l'évaluation d'un spectre multifractal. En pratique, pour une large classe d'objets multifractals, ces deux approches sont équivalentes et l'on passe de l'une à l'autre à partir d'une transformée de Legendre.

Spectre

$D_{q}={\frac {1}{q-1}}log(\sum _{i=1}^{n}P_{i}^{q})$

Dimensions

En géométrie multifractale, comme en géométrie fractale classique, la notion de dimension est plurielle. Dans la littérature, il existe principalement deux types de mesures que sont : les dimensions apparentées aux dimensions dites de box-counting, et les dimensions apparentées au dimension de Hausdorff.

Seules les dimensions apparentées au dimension de Hausdorff existent pour toutes mesures. Mais en pratique, seules les dimensions apparentées aux dimensions dites de <<Box-counting>> sont calculables.

La dimension multifractale de box-counting est définie comme passage à la limite de l'entropie de Rényi.

Application en finance

Laurent-Emmanuel Calvet et Adlai Fisher ont développé des modèles multifractals permettant d'évaluer le risque des actifs financiers[1].

Notes et références

(en) Laurent-Emmanuel Calvet, Multifractal Volatility : Theory, Forecasting and Pricing, Academic Press, 2008, 258 p. (ISBN 978-0-12-150013-9 et 0-12-150013-6, lire en ligne)

Liens externes

Stanley H.E., Meakin P., « Multifractal phenomena in physics and chemistry », Nature, vol. 335, n^o 6189,‎ 1988, p. 405–9 (DOI 10.1038/335405a0, lire en ligne [Review])
Alain Arneodo, Benjamin Audit, Pierre Kestener et Stephane Roux, « Wavelet-based multifractal analysis », Scholarpedia, vol. 3, n^o 3,‎ 2008, p. 4103 (ISSN 1941-6016, DOI 10.4249/scholarpedia.4103, lire en ligne)
(en) Movies of visualizations of multifractals
Markov switching multifractal

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[1] (en) Laurent-Emmanuel Calvet, Multifractal Volatility : Theory, Forecasting and Pricing, Academic Press, 2008, 258 p. (ISBN 978-0-12-150013-9 et 0-12-150013-6, lire en ligne)