Modèle gravitaire

La formule du modèle la plus communément admise est la suivante :

${\displaystyle F_{ij}=k.{M_{i}.M_{j} \over d_{ij}^{a}}}$

où F_ij est le flux à déterminer du lieu i vers le lieu j, M_i et M_j les masses des lieux i et j et d_ij la distance entre les deux lieux. Le paramètre k est une variable ajustable. Ce paramètre vise soit à minimiser la somme des carrés des écarts entre les flux observés et estimés, soit à assurer l'égalité entre la somme des flux observés et celle des flux estimés[1]. k est appelé constante de proportionnalité[2]. Le paramètre a tente d'estimer le frein de la distance en observant le rapport entre le volume des interactions et la distance qui sépare les lieux concernés.

Cette formule est inspirée de la loi universelle de la gravitation d'Isaac Newton.

Le paramètre a se calcule en transformant l'équation du modèle afin de la rendre équivalente à celle d'une fonction affine à l'aide d'une régression linéaire[3]. Pour ce faire, il faut connaitre les distances considérées qui séparent les lieux entre eux, les masses de ces lieux et les interactions qu'ils opèrent. Le paramètre a se détermine en mettant en relation en ordonnée les relations F_ij / M_i.M_j et en abscisse les distances d_ij. Le problème est que ce type de graphique est une fonction exponentielle négative ce qui rend incorrect le tracé d'une droite de régression. Afin d'avoir un meilleur résultat, on utiliser les logarithmes pour pouvoir tracer la droite tel que : ${\displaystyle \log(F_{ij}/M_{i}.M_{j})=-a\log(d_{ij})+\log(k)}$[3].

Il faut ainsi réaliser un graphique avec en ordonnée ${\displaystyle \log(F_{ij}/M_{i}.M_{j})}$ et en abscisse ${\displaystyle \log(d_{ij})}$. On trace ensuite la droite de régression sur le graphique produisant une fonction affine dont le coefficient angulaire nous donne -a.

Le paramètre a produit, si l'on ne calcule pas le paramètre k, des résultats considérablement supérieurs à l'observation empiriques des flux. Ce paramètre permet la mise en relation entre les flux observés et les flux estimés afin de produire une estimation correcte. Le paramètre k se calcule de la manière suivante :

${\displaystyle k={\frac {\sum _{i}\sum _{j}F_{ij}}{\sum _{i}\sum _{j}F'_{ij}}}}$[3] soit la somme des flux observés divisée par la somme des flux estimées en prenant seulement en compte le paramètre a.

Comme tous les modèles prévisionnels à caractère incertain, le modèle gravitaire doit s'accompagner d'une analyse des résidus. Les résidus dits statistiques sont ici calculés selon le même principe que dans une régression linéaire. Trois types de résidus peuvent ainsi être calculés, tous complémentaires :

• Résidu brut : ${\displaystyle RB=M_{ij}-M_{ij}'}$, où M_ij est l'interaction observée et M'_ij est l'interaction estimée par le modèle. Ce résidu donne une valeur brute peu adaptée si l'on veut comparer l'application du modèle à plusieurs espaces.
• Résidu relatif : ${\displaystyle RR={\biggl (}{\frac {M_{ij}-M_{ij}'}{M_{ij}'}}{\biggl )}.100}$. Ce résidu donne une valeur en pourcentage adaptée pour caractériser l'intensité de l'erreur.
• Résidu standardisée : ${\displaystyle RS=\left({\frac {M_{ij}-M_{ij}'}{\bar {M_{ij}'}}}\right)}$ où le dénominateur est la moyenne des interactions estimées par le modèle. Ce résidu est le plus adaptée si l'on veut comparer l'application du modèle à plusieurs espaces.

Le modèle gravitaire est particulièrement efficace dans des milieux avec une accessibilité homogène. Par exemple, il est très efficace dans l'estimation des flux de mobilité domicile-travail[6] en milieu urbain. Le modèle fonctionne bien dans ce genre de situation car il étudie des mobilités à grande échelle, soit des espaces à caractère relativement homogène surtout en milieu urbain pour ce qui est de l'accessibilité.

Un avantage majeur de ce modèle est sa pluralité de formes. Il existe une multitude de formules pour utiliser et adapter le modèle gravitaire dans différents domaines, par exemple en géomarketing.

Le modèle est fortement influencé par les caractéristiques de l'espace étudié. Un espace très hétérogène est peu adapté à l'utilisation du modèle gravitaire dans un but prévisionnel. Les limites sont explicables par la formule en elle-même, une fois que les paramètres a et k sont ajustés la formule est fixe. Une formule fixe s'adapte mal à l'espace géographique qui est mouvant. De plus, le modèle tente d'estimer des interactions entre des entités géographiques aux limites illogiques. Les découpages administratifs sont des processus changeant, historiques et aux facteurs très nombreux ce qui en fait des processus complexes. Ainsi, le modèle gravitaire est grandement limité et influencé par un découpage administratif arbitraire et hiérarchisé[1].